Смекни!
smekni.com

Электрические цепи переменного тока (стр. 2 из 3)

Рассмотрим цепь (рис. 6), в котором к катушке индуктивности L, не обладающей активным сопротивлением (R=0), приложено синусоидальное напряжение (1.11):

Протекающий через катушку переменный ток создает в ней ЭДС самоиндукции eL. Тогда в соответствии со вторым правилом Кирхгофа можно записать:

U + eL = 0 (1.15)

Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:

eL = −LdI/dt (1.16)

Подставив (1.16) в (1.15), имеем:

dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)

Интегрируя это уравнение, получим:

I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)

где const – постоянная интегрирования, которая говорит о том, что в цепи может быть и постоянный ток. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. Окончательно имеем:

I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)

где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:

I = U/ ωL= U/ XL (1.20)

Соотношение (1.20) представляет собой закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью, а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением.

Из формулы (1.19) мы видим, что в рассмотренной цепи ток отстает по фазе от напряжения на π/2. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рисунке 7.

Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.

Мгновенная мощность равна:

p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)

Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).

Положительные значения мощности соответствуют потреблению энергии катушкой, а отрицательные — возврату запасенной энергии обратно источнику.

Средняя за период мощность равна:

Т T

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)

Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.


5. Цепь переменного тока с разной нагрузкой

Цепь переменного тока с активно-индуктивной нагрузкой

Рассмотрим электрическую цепь (рис. 9), в котором через катушку индуктивности L, обладающую активным сопротивлением R, протекает переменный ток:

I = I0 sin ωt (1.23)

Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности и на резисторе:

U = UL+UR (1.24)

Напряжение на резисторе, как показано выше, совпадает по фазе с током:

UR = U0R sin ωt (1.25)

а напряжение на индуктивности равно ЭДС самоиндукции со знаком “минус” (по второму правилу Кирхгофа):

UL = L(dI/dt)= I0 ωLcos ωt = U0Lsin(ωt + π/2) (1.26)

где U0L= I0 ωL (1.27)

Напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Переходя к формуле (1.27) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:

I = UL/XL (1.28)

Это закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью (т.е. не обладающей активным сопротивлением), а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением. Построив векторы I, UR и UL и воспользовавшись формулой (1.24), мы найдем вектор U.

Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен

U= √ UR + UL = √ I R + I (ωL) = I√ R + (ωL) = IZ (1.29)

где величина

Z = √ R + (ωL) (1.30)

называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе φ между током и напряжением также определяется из векторной диаграммы:

tg φ = UL/ UR = ωL/ R (1.31)

В данной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и L и изменяется в пределах от 0 до π/2.

Теперь рассмотрим как изменяется со временем мощность в цепи с активно-индуктивной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:

U(t) = U0 sin ωt (1.32)

I(t) = I0 sin(ωt − φ)

Тогда мгновенное значение мощности равно:

p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt − φ)=(I0 U0/2)[cosφ − cos(2ωt − φ)] = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ − (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.33)

Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое — активная, и второе — реактивная (индуктивная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:

T T T

Pср = 1/T ∫ pdt = (I0 U0/2T) cosφ ∫dt − (I0 U0/2T) cosφ ∫ cos2ωt dt −

0 0 0

T

−(I0 U0/2T) sin φ ∫ sin2ωt dt = (I0 U0/2) cosφ (1.34)

0

и является активной мощностью. Соответствующая этой мощности электрическая энергия превращается в активном сопротивлении R в теплоту.

Цепь переменного тока с емкостью

Рассмотрим электрическую цепь, в которой переменное напряжение (1.11) приложено к емкости С (рис. 11). Мгновенное значение тока в цепи с емкостью равно скорости заряда на обкладках конденсатора:

I = dq/dt (1.35)

но, т.к. q = CU, то

I = C (dU/dt) = ωCU0 cos ωt = I0 sin (ωt + π/2) (1.36)

где

ωCU0 = I0 (1.37)

В этой цепи ток опережает напряжение на π/2. Переходя в формуле (1.37) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:

I0 = U/Xc (1.38)

Это закон Ома для цепи переменного тока с емкостью, а величина

Xc= 1/ωC называется емкостным сопротивлением. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рис. 12.

Найдем мгновенную и среднюю мощность в цепи, содержащей емкость. Мгновенная мощность равна:

p(t)= i(t) u(t) = I0U0 sin (ωt + π/2) sin ωt = IUsin2 ωt (1.39)

Мгновенная мощность изменяется с удвоенной частотой (рис. 13). При этом положительные значения мощности соответствуют заряду конденсатора, а отрицательные — его разряду и возврату запасенной энергии в источник. Средняя за период мощность здесь равна нулю

T T

Pср = 1/T ∫ p(t)dt = IU/T ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.40)

0 0

т.к. в цепи с конденсатором активная мощность не потребляется, а проходит обмен электрической энергией между конденсатором и источником.

Цепь переменного тока с активно-емкостной нагрузкой

Реальная цепь переменного тока с емкостью всегда содержит активное сопротивление — сопротивление проводов, активные потери в конденсаторе и т.п. Рассмотрим реальную цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С и активного сопротивления R (рис. 14). В этой цепи протекает ток I = I0 sin ωt .

В соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма напряжений на резисторе и на емкости равна приложенному напряжению:

U = UR + UC (1.41)

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током:

UR = U0R sin ωt (1.42)

а напряжение на конденсаторе отстает от тока:

UC = U0C sin (ωt − π/2) (1.43)

Построив векторы I,UR и UC и воспользовавшись формулой (1.41), найдем вектор U. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рисунке 15.

Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен

U =√ UR + UC =√ I R + I (1/ωC) = I √ R + (1/ωC) = IZ1 (1.44)

где величина

Z1=√ R + (1/ωC) (1.45)

называется полным сопротивлением цепи.

Сдвиг по фазе φ между током и напряжением в данной цепи также определяется из векторной диаграммы:

tg φ = UC/ UR = (1/ωC)/ R (1.46)

В рассмотренной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и C и изменяется в пределах от 0 до π/2.

Рассмотрим теперь, как изменяется со временем мощность в цепи с активно – емкостной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:

U (t) = U0 sin ωt

I (t) = I0 sin (ωt + φ) (1.47)

Тогда мгновенное значение мощности равно:

p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt + φ)=(I0 U0/2)[cosφ − cos(2ωt + φ)] = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ + (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.48)

Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое — активная, а второе — реактивная (емкостная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:

T T T

Pср =1/T ∫ pdt = I0U0/2T cosφ ∫ dt − I0U0/2T cosφ ∫ cos2 ωtdt + I0U0/2T ∙

0 0 0

T

sin φ ∫ sin2ωt dt = I0U0/2T cosφ (1.49)

0

и является активной мощностью. Соответствующая этой мощности электрическая энергия превращается в активном сопротивлении R в теплоту.


6. Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость

Теперь рассмотрим цепь переменного тока, содержащую индуктивность, емкость и резистор, включенные последовательно (рис. 16).

Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности, на емкости и на резисторе:

U = UL + UC + UR (1.50)

Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке опережает ток по фазе на π/2, а напряжение на емкости отстает от тока по фазе на π/2. Можно записать эти напряжения в следующем виде:

UR = U0R sin ωt = I0R sin ωt

UL = U0Lsin (ωt + π/2) = I0 ωL (ωt + π/2) (1.51)

UC = U0C sin (ωt − π/2) = (I0/ωC) sin (ωt − π/2)

Поскольку нам известны амплитуды и фазы этих векторов, мы можем построить векторную диаграмму и найти вектор U (рис. 17)

Из полученной векторной диаграммы мы можем найти модуль вектора приложенного к цепи напряжения U и сдвиг по фазе φ между током и напряжением:

U = √ UR + (UL − UC) = I √ R +( ωL− 1/ωC) = IZ (1.52)

где

Z = √ R +( ωL− 1/ωC) (1.53)

называется полным сопротивлением цепи. Из диаграммы видно, что сдвиг по фазе между током и напряжением определяется уравнением:

tg φ =(UL − UC)/ UR = ( ωL− 1/ωC)/R (1.54)

В результате построения диаграммы мы получили треугольник напряжений, гипотенуза которого равна приложенному напряжению U. При этом разность фаз между током и напряжением определяется соотношением векторов UL, UC и UR. При UL > UC (рис. 17) угол φ положителен и нагрузка имеет индуктивный характер. При UL < UC угол φ отрицателен и нагрузка имеет емкостный характер (рис. 18, а ). А при

UL = UC угол φ равен нулю и нагрузка является чисто активной (рис. 18, б).

Разделив стороны треугольника напряжений (рис. 17) на значение тока в цепи, получим треугольник сопротивлений (рис. 19, а), в котором R ─ активное сопротивление, Z ─ полное сопротивление, а x = xL−xC ─ реактивное сопротивление. Кроме того,

R = Zcosφ; x = Zsinφ (1.55)

Умножив стороны треугольника напряжений на значение тока в цепи, получим треугольник мощностей (рис. 19, б). Здесь S ─ полная мощность, Q ─ реактивная мощность и P ─ активная мощность. Из треугольника мощностей следует:

S = IU = √P + Q ; Q = Ssin φ ; P = S cos φ = IU cos φ (1.56)

Реактивная мощность Q всегда связана с обменом электрической энергией между источником и потребителем. Ее измеряют в вольт – амперах реактивных (Вар).

Полная мощность S содержит в себе как активную, так и реактивную составляющие — это мощность, которая потребляется от источника электроэнергии. При P = 0 вся полная мощность становится реактивной, а при Q = 0 ─ активной. Следовательно, составляющие полной мощности определяются характером нагрузки. Полная мощность измеряется в вольт – амперах (ВА). Эта величина указывается на табличках приборов переменного тока.