Рассмотрим цепь (рис. 6), в котором к катушке индуктивности L, не обладающей активным сопротивлением (R=0), приложено синусоидальное напряжение (1.11):
Протекающий через катушку переменный ток создает в ней ЭДС самоиндукции eL. Тогда в соответствии со вторым правилом Кирхгофа можно записать:
U + eL = 0 (1.15)
Согласно закону Фарадея, ЭДС самоиндукции равна:
eL = −LdI/dt (1.16)
Подставив (1.16) в (1.15), имеем:
dI/dt = − eL/L = U/L = U0 sin ωt/L (1.17)
Интегрируя это уравнение, получим:
I =− U0cos ωt/ω L + const = U0sin (ωt − π/2)/ ωL+ const (1.18)
где const – постоянная интегрирования, которая говорит о том, что в цепи может быть и постоянный ток. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. При отсутствии постоянного тока она равна нулю. Окончательно имеем:
I = I0 sin (ωt − π/2) (1.19)
где I0 = U0/ ωL. Деля обе части на √2, получим:
I = U/ ωL= U/ XL (1.20)
Соотношение (1.20) представляет собой закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью, а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением.
Из формулы (1.19) мы видим, что в рассмотренной цепи ток отстает по фазе от напряжения на π/2. Векторная диаграмма для этой цепи изображена на рисунке 7.
Вычислим мощность, потребляемую цепью с чисто индуктивным сопротивлением.
Мгновенная мощность равна:
p (t)= I0 U0 sin ωt(ωt − π/2)= − I0 U0 sin2 ωt/2 (1.21)
Мы видим, она изменяется по закону синуса с удвоенной частотой (рис. 8).
Положительные значения мощности соответствуют потреблению энергии катушкой, а отрицательные — возврату запасенной энергии обратно источнику.
Средняя за период мощность равна:
Т T
Pср = 1/T ∫ p(t)dt = (− I0 U0 /2T) ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.22)
Мы видим, что цепь с индуктивностью мощности не потребляет – это чисто реактивная нагрузка.
5. Цепь переменного тока с разной нагрузкой
Цепь переменного тока с активно-индуктивной нагрузкой
Рассмотрим электрическую цепь (рис. 9), в котором через катушку индуктивности L, обладающую активным сопротивлением R, протекает переменный ток:
I = I0 sin ωt (1.23)
Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности и на резисторе:
U = UL+UR (1.24)
Напряжение на резисторе, как показано выше, совпадает по фазе с током:
UR = U0R sin ωt (1.25)
а напряжение на индуктивности равно ЭДС самоиндукции со знаком “минус” (по второму правилу Кирхгофа):
UL = L(dI/dt)= I0 ωLcos ωt = U0Lsin(ωt + π/2) (1.26)
где U0L= I0 ωL (1.27)
Напряжение на индуктивности опережает ток на π/2. Переходя к формуле (1.27) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:
I = UL/XL (1.28)
Это закон Ома для цепи с идеальной индуктивностью (т.е. не обладающей активным сопротивлением), а величина XL= ωL называется индуктивным сопротивлением. Построив векторы I, UR и UL и воспользовавшись формулой (1.24), мы найдем вектор U.
Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен
U= √ UR + UL = √ I R + I (ωL) = I√ R + (ωL) = IZ (1.29)
где величина
Z = √ R + (ωL) (1.30)
называется полным сопротивлением цепи.
Сдвиг по фазе φ между током и напряжением также определяется из векторной диаграммы:
tg φ = UL/ UR = ωL/ R (1.31)
В данной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и L и изменяется в пределах от 0 до π/2.
Теперь рассмотрим как изменяется со временем мощность в цепи с активно-индуктивной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:
U(t) = U0 sin ωt (1.32)
I(t) = I0 sin(ωt − φ)
Тогда мгновенное значение мощности равно:
p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt − φ)=(I0 U0/2)[cosφ − cos(2ωt − φ)] = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ − (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.33)
Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое — активная, и второе — реактивная (индуктивная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:
T T T
Pср = 1/T ∫ pdt = (I0 U0/2T) cosφ ∫dt − (I0 U0/2T) cosφ ∫ cos2ωt dt −
0 0 0
T
−(I0 U0/2T) sin φ ∫ sin2ωt dt = (I0 U0/2) cosφ (1.34)
0
и является активной мощностью. Соответствующая этой мощности электрическая энергия превращается в активном сопротивлении R в теплоту.
Цепь переменного тока с емкостью
Рассмотрим электрическую цепь, в которой переменное напряжение (1.11) приложено к емкости С (рис. 11). Мгновенное значение тока в цепи с емкостью равно скорости заряда на обкладках конденсатора:
I = dq/dt (1.35)
но, т.к. q = CU, то
I = C (dU/dt) = ωCU0 cos ωt = I0 sin (ωt + π/2) (1.36)
где
ωCU0 = I0 (1.37)
В этой цепи ток опережает напряжение на π/2. Переходя в формуле (1.37) к действующим значениям переменного тока (I = I0/√2; U= U0/√2), получим:
I0 = U/Xc (1.38)
Это закон Ома для цепи переменного тока с емкостью, а величина
Xc= 1/ωC называется емкостным сопротивлением. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рис. 12.
Найдем мгновенную и среднюю мощность в цепи, содержащей емкость. Мгновенная мощность равна:
p(t)= i(t) u(t) = I0U0 sin (ωt + π/2) sin ωt = IUsin2 ωt (1.39)
Мгновенная мощность изменяется с удвоенной частотой (рис. 13). При этом положительные значения мощности соответствуют заряду конденсатора, а отрицательные — его разряду и возврату запасенной энергии в источник. Средняя за период мощность здесь равна нулю
T T
Pср = 1/T ∫ p(t)dt = IU/T ∫ sin2 ωt dt = 0 (1.40)
0 0
т.к. в цепи с конденсатором активная мощность не потребляется, а проходит обмен электрической энергией между конденсатором и источником.
Цепь переменного тока с активно-емкостной нагрузкой
Реальная цепь переменного тока с емкостью всегда содержит активное сопротивление — сопротивление проводов, активные потери в конденсаторе и т.п. Рассмотрим реальную цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора С и активного сопротивления R (рис. 14). В этой цепи протекает ток I = I0 sin ωt .
В соответствии со вторым правилом Кирхгофа, сумма напряжений на резисторе и на емкости равна приложенному напряжению:
U = UR + UC (1.41)
Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током:
UR = U0R sin ωt (1.42)
а напряжение на конденсаторе отстает от тока:
UC = U0C sin (ωt − π/2) (1.43)
Построив векторы I,UR и UC и воспользовавшись формулой (1.41), найдем вектор U. Векторная диаграмма для этой цепи показана на рисунке 15.
Как видно из векторной диаграммы, модуль вектора U равен
U =√ UR + UC =√ I R + I (1/ωC) = I √ R + (1/ωC) = IZ1 (1.44)
где величина
Z1=√ R + (1/ωC) (1.45)
называется полным сопротивлением цепи.
Сдвиг по фазе φ между током и напряжением в данной цепи также определяется из векторной диаграммы:
tg φ = UC/ UR = (1/ωC)/ R (1.46)
В рассмотренной цепи угол сдвига фаз между током и напряжением зависит от значений R и C и изменяется в пределах от 0 до π/2.
Рассмотрим теперь, как изменяется со временем мощность в цепи с активно – емкостной нагрузкой. Мгновенные значения тока и напряжения можно представить в виде:
U (t) = U0 sin ωt
I (t) = I0 sin (ωt + φ) (1.47)
Тогда мгновенное значение мощности равно:
p(t)= I(t) U(t) = I0 U0 sin ωt sin(ωt + φ)=(I0 U0/2)[cosφ − cos(2ωt + φ)] = =(I0 U0/2)(1− cos2ωt) cosφ + (I0 U0/2) sin2ωt sin φ (1.48)
Мгновенное значение мощности имеет две составляющие: первое слагаемое — активная, а второе — реактивная (емкостная). Поэтому средняя за период мощность не равна нулю:
T T T
Pср =1/T ∫ pdt = I0U0/2T cosφ ∫ dt − I0U0/2T cosφ ∫ cos2 ωtdt + I0U0/2T ∙
0 0 0
T
sin φ ∫ sin2ωt dt = I0U0/2T cosφ (1.49)
0
и является активной мощностью. Соответствующая этой мощности электрическая энергия превращается в активном сопротивлении R в теплоту.
6. Последовательная цепь, содержащая активное сопротивление, индуктивность и емкость
Теперь рассмотрим цепь переменного тока, содержащую индуктивность, емкость и резистор, включенные последовательно (рис. 16).
Напряжение, приложенное к цепи, равно векторной сумме падений напряжений на катушке индуктивности, на емкости и на резисторе:
U = UL + UC + UR (1.50)
Напряжение на резисторе совпадает по фазе с током, напряжение на катушке опережает ток по фазе на π/2, а напряжение на емкости отстает от тока по фазе на π/2. Можно записать эти напряжения в следующем виде:
UR = U0R sin ωt = I0R sin ωt
UL = U0Lsin (ωt + π/2) = I0 ωL (ωt + π/2) (1.51)
UC = U0C sin (ωt − π/2) = (I0/ωC) sin (ωt − π/2)
Поскольку нам известны амплитуды и фазы этих векторов, мы можем построить векторную диаграмму и найти вектор U (рис. 17)
Из полученной векторной диаграммы мы можем найти модуль вектора приложенного к цепи напряжения U и сдвиг по фазе φ между током и напряжением:
U = √ UR + (UL − UC) = I √ R +( ωL− 1/ωC) = IZ (1.52)
где
Z = √ R +( ωL− 1/ωC) (1.53)
называется полным сопротивлением цепи. Из диаграммы видно, что сдвиг по фазе между током и напряжением определяется уравнением:
tg φ =(UL − UC)/ UR = ( ωL− 1/ωC)/R (1.54)
В результате построения диаграммы мы получили треугольник напряжений, гипотенуза которого равна приложенному напряжению U. При этом разность фаз между током и напряжением определяется соотношением векторов UL, UC и UR. При UL > UC (рис. 17) угол φ положителен и нагрузка имеет индуктивный характер. При UL < UC угол φ отрицателен и нагрузка имеет емкостный характер (рис. 18, а ). А при
UL = UC угол φ равен нулю и нагрузка является чисто активной (рис. 18, б).
Разделив стороны треугольника напряжений (рис. 17) на значение тока в цепи, получим треугольник сопротивлений (рис. 19, а), в котором R ─ активное сопротивление, Z ─ полное сопротивление, а x = xL−xC ─ реактивное сопротивление. Кроме того,
R = Zcosφ; x = Zsinφ (1.55)
Умножив стороны треугольника напряжений на значение тока в цепи, получим треугольник мощностей (рис. 19, б). Здесь S ─ полная мощность, Q ─ реактивная мощность и P ─ активная мощность. Из треугольника мощностей следует:
S = IU = √P + Q ; Q = Ssin φ ; P = S cos φ = IU cos φ (1.56)
Реактивная мощность Q всегда связана с обменом электрической энергией между источником и потребителем. Ее измеряют в вольт – амперах реактивных (Вар).
Полная мощность S содержит в себе как активную, так и реактивную составляющие — это мощность, которая потребляется от источника электроэнергии. При P = 0 вся полная мощность становится реактивной, а при Q = 0 ─ активной. Следовательно, составляющие полной мощности определяются характером нагрузки. Полная мощность измеряется в вольт – амперах (ВА). Эта величина указывается на табличках приборов переменного тока.