Операторные передаточные функции и их свойства (стр. 2 из 2)

Посредством указанного разложения по таблице соответствий находится выражение для

При этом

Заметим, что среди корней полинома

могут быть как вещественные так и комплексные сопряженные. В случае вещественных корней функция

будет убывающей, если

Если же

то слагаемые можно записать как:

Полученная функция является гармонической с амплитудной

Последняя будет убывающей при

Следовательно, система устойчива, если действительные (вещественные) части корней знаменателя характеристического уравнения

отрицательны. (Фундаментальное положение, вытекающее из общей теории устойчивости А. М. Ляпунова, обоснованной в 90‑х годах прошлого века).

Для наглядного суждения о характере и значениях корней удобно изображать их точками на комплексной плоскости. Так, например, на рисунке 2 показано расположение на комплексной плоскости корней некоторого полинома знаменателя пятой степени.

Здесь корнями являются:

вещественен и отрицателен,

;

комплексны, сопряжены попарно и имеют отрицательные вещественные части. Очевидно, что в данном случае цепь будет устойчивой.

Наличие у характеристического уравнения корней с положительными вещественными частями приводит к тому, что любое случайное воздействие, каким бы оно не было малым, вызывает нарастающие по амплитуде свободные колебания. Значения амплитуды колебаний ограничиваются нелинейными свойствами усилительных приборов. Внешне рассматриваемая цепь без каких-либо видимых воздействий "сама" переходит в режим установившихся колебаний или, как говорят, "самовозбуждается".

Электрические цепи, у которых свободные колебания, пока они малы, возрастают по времени, причем предел их возрастания определяется нелинейными свойствами элементов цепи, называют неустойчивыми.

Характеристическое уравнение знаменателя ОПФ любой неустойчивой цепи должно иметь корни, расположенные в правой части комплексной плоскости. Одной из важнейших задач, возникающих при проектировании самых разнообразных цепей с зависимыми источниками, является задача исследования проектируемой цепи на устойчивость.

Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица

Во всех задачах исследования цепи на устойчивость необходимо решить, имеет ли характеристическое уравнение знаменателя ОПФ проектируемой цепи корни, расположенные в правой полуплоскости.

Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи, не прибегая к вычислению корней характеристического уравнения знаменателя, называют критериями устойчивости.

В настоящее время известен ряд критериев устойчивости, среди которых чаще всего используются критерии устойчивости, предложенные А. Гурвицем (1895), А. В. Михайловым (1938) и Г. Найквистом (1932). Не все они одинаково удобны и универсальны, в каждом частном случае один из них может оказаться предпочтительным.

Один из первых критериев устойчивости был найден немецким математиком А. Гурвицем и опубликован им в 1895 году. Он определил условия, которым должны удовлетворять специально составленные соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения с тем, чтобы все корни последнего имели отрицательные вещественные части или, иными словами, были расположены в левой полуплоскости.

Формулировка критерия устойчивости Гурвица: (в алгебре критерий Рауса-Гурвица) цепь будет устойчивой, если определитель:

составленный из коэффициентов полинома знаменателя ОПФ:

и все его главные миноры

;

принимают положительные значения.

Этот критерий приводится без доказательства. Определитель принято называть определителем Гурвица. Он составляется по следующему простому правилу. На главной его диагонали выписываются коэффициенты в том порядке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффициента

. В каждом из столбцов под диагональным элементом выписываются коэффициенты с убывающими, а над ним – с возрастающими индексами. Все коэффициенты, индексы которых превышают

или отрицательны, заменяются нулями. При этом следует учесть, что

Пример. Пусть дан полином четвертой степени:

Ему соответствует определитель Гурвица:

Главные миноры этого определителя:

;

Определитель и все его миноры положительны. Следовательно, все корни рассматриваемого уравнения

лежат в левой полуплоскости. Действительно, легко убедиться подстановкой, что значения корней уравнения таковы:

;

Полиномы с вещественными коэффициентами, нули которых расположены в левой полуплоскости, принято в ТЭЦ называть полиномами Гурвица или устойчивыми полиномами. В дальнейшем их будем обозначать J(p). Можно показать, что положительность коэффициентов полинома и неравенство их нулю есть необходимое, но недостаточное условие принадлежности его к классу полиномов Гурвица.

Так полиномы

не могут быть J(p) поскольку в первом есть отрицательный коэффициент (‑1), а во втором коэффициент при

равен нулю.

В дальнейшем ОПФ пассивных цепей будем записывать в виде:

4. Связь между ОПФ и КПФ

КПФ образуется из ОПФ путем замены оператора

на оператор

, т.е.

Если степень, в которую возводится оператор

четная, то:

, если же она нечетная, то

Отсюда следует вывод, что вещественные части полиномов представляют собой четные функции частоты, а мнимые – нечетные, т. е. можно в общем виде записать:

где

– четные полиномы частоты

Возьмем модуль и аргумент и в результате получим:

Откуда:

АЧХ:

;

ФЧХ:

По этим выражениям можно построить графики.

Литература

1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник);

2. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998.

3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник);

4. Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)