(10)
.
Решения дифференциальных уравнений (10) имеют вид:
,
.
Следовательно, решение (7) волнового уравнения (6) имеет вид:
, (11)
где
– амплитудные значения колебаний, формирующихся в точке с координатой
в результате сложения волн, распространяющихся вдоль струны за счет действия возмущающей силы и отраженных от точек закрепления оконечных участков струны. Возникающий в результате колебательный процесс (11) называется стоячей волной. Точки, в которых
, называются узлами, а точки, в которых амплитуда максимальна
– пучностями стоячей волны. Следует иметь в виду, что и пучность, и узел представляют собой не точки, а плоскости, удовлетворяющие указанным условиям. Расстояние между соседними пучностями (также как и между соседними узлами) равно половине длины волны
. Соседние узел и пучность сдвинуты на
.
Для нахождения неопределенной постоянной
в уравнении (11) воспользуемся очевидными граничными условиями, обусловленными тем, что в точках закрепления струны амплитуда равна нулю:
. (12)
Следовательно,
или
, (13)
где
=1,2,3... – определяет число пучностей.
Введем для формулы (11) следующие обозначения:
, (14)
где
;
– циклическая частота колебаний;
– частота колебаний.
С учётом соотношений (6), (13) и (14) имеем:
. (15)
При установившейся стоячей волне вся длина струны
содержит целое число
полуволн, т.к. в конечных точках струны согласно (12)
. Таким образом,
и, соответственно:
. (16)
Так как скорость распространения колебаний:
, (17)
то с учетом формул (15) и (16) имеем:
. (18)
В равенстве (18) можно перейти от линейной к объемной плоскости струны
:
, (19)
где
– диаметр струны.
При этом соотношение (15) можно записать в виде:
. (20)
Частота, соответствующая
=1, называется основной
, а частоты, соответствующие
>1 – собственными или нормальными частотами. Их также называют гармониками. В общем случае колебание струны представляет собой наложение гармоник.
2. Экспериментальная часть
Разработанная установка представляет собой натянутую струну колеблющуюся, в результате воздействия на нее потоком воздуха.
2.1 Описание установки
Рис.3 Экспериментальная установка
1.Платформа на ножках;
2.Стойка(1);
3.Стойка(2);
4.Груз;
5.Блок(рис.4);
6.Болт крепления струны(рис.5)
7.Струна
| |
2.2 Порядок выполнения работы
Рассмотрим способы возбуждения стоячих волн на струнах. В большинстве струнных музыкальных инструментов для этого используется либо удар по струне специальным молоточком (рояль, пианино), либо рывок (гитара и другие щипковые инструменты). Во всех этих случаях зависимость возбуждающей силы от времени не является гармонической, а имеет вид кратковременного импульса. Однако любой кратковременный импульс можно представить как сумму бесконечно большого числа гармонических функций в бесконечно большом диапазоне частот. Те составляющие, частоты которых совпадают с частотами, определяемыми формулой (13), возбуждают стоячие волны. Одновременно возбуждаются как основной тон, так и все его обертоны. Самую большую интенсивность имеет звук основного тона. На обертоны приходится лишь незначительная доля энергии. Соотношение между интенсивностями основного тона и каждого из обертонов определяет тембр звука. Это соотношение для разных инструментов разное. Поэтому разные инструменты, настроенные на одну и ту же частоту основного тона звучат по-разному.
В настоящей работе струна возбуждается силой, изменяющейся по гармоническому закону. Для этого используется металлическая струна на которую воздействуем потоком воздуха. На эту часть струны действует сила потока воздуха в направлении, перпендикулярном длине струны. Эта сила изменяется по гармоническому закону.
Колебания струны могут возбуждаться только в том случае, если частота схода вихрей совпадает с частотой какой либо одной из гармоник. Следовательно, рассмотренным способом можно возбудить любые гармоники, но только по отдельности. В отличие от бегущей волны, в стоячей волне не происходит переноса энергии вдоль струны. Поэтому, в случае отсутствия потерь энергии , даже при кратковременном , импульсном возбуждении струна должна колебаться бесконечно долго. Однако реально всегда существуют потери энергии (например на излучение звука,трение струны в зажимах,) и колебания являются затухающими. При возбуждении струны силой, изменяющейся по гармоническому закону, колебания являются вынужденными. В установившемся режиме они происходят с частотой вынуждающей силы, и амплитуда колебаний со временем не меняется. Потери энергии компенсируются поступающей энергией.