Термодинамическое равновесие гетерогенных плазменных систем с суще (стр. 5 из 6)

Отбросив растущее на бесконечности частное решение (2.1.6), представим выражение для избыточного заряда θ(r) в виде

(2.1.9)

Подставляя его в уравнение электронейтральности плазмоля (2.1.3) и производя интегрирование, получаем

. (2.1.10)

Таким образом, имеем трансцендентное уравнение для зарядового числа КЧ в плазмозоле. Поверхностная плотность избыточного заряда

параметрически зависит от электростатического заряда z и определяется как

(2.1.11)

где Q – отношение статистических весов частицы p в зарядовых состояниях z+1 и z; Ф_z – работа выхода электрона с поверхности заряженной частицы радиуса r_p.

Вследствие наличия собственных размеров частицы КДФ не могут приблизиться на расстояния r<2r_p и поэтому объемный заряд на поверхности (при r=r_p+0) КЧ равен плотности электронной компоненты.

Подставляя (2.1.11) в (2.1.10), получаем уравнение для среднего зарядового числа z КЧ в плазмозоле. Решив это уравнение относительно z и подставив найденное значение корня в условие электронейтральности среды (2.5), получим среднее значение концентрации электронов в газовой фазе:

n_e=zn_p. (2.1.12)

Таким образом, уравнения (2.1.10) – (2.1.12) полностью решают вопрос об ионизационном равновесии в плазмозоле идентичных сферических частиц в рамках дебаевского рассмотрения.

2.2. Зависимость электронной концентрации от определяющих параметров плазмы.

Гетерогенная плазма, состоящая из двух подсистем: “частичной” – заряженных частиц КДФ и газовой – нейтрального буферного газа с эмитированными КДФ электронами, характеризуется параметрами, на основе которых можно однозначно в рамках той или иной модели рассчитать ее равновесный состав. Кроме термодинамических параметров (T, P, V), характеризующих плазму в целом, каждая из подсистем определяется своими параметрами. Для ансамбля макрочастиц КДФ – это их размер или функция распределения по размерам в полидисперсной системе, работа выхода W вещества частиц. Свойства атомарных частиц в газовой фазе определяются потенциалами ионизации I_j парциальными давлениями компонент P_j, т.е. счетными концентрациями атомарных частиц каждого сорта n_Aj.

Основная цель описания термической ионизации в любой из моделей – построение зависимостей электрофизических параметров системы (плазмы с КДФ) от ее определяющих параметров. При математической формулировке задачи физическая модель обычно сводится к решению соответствующей системы уравнений сохранения и кинетики, записанной для термодинамического равновесия. После преобразований системы ионизационных уравнений приходят в конечном итоге к решению трансцендентного уравнения (см., например (1.2.14)), выражающего функциональную связь между определяющими – исходными параметрами задачи и искомыми (в данном случае электрофизическими). Так, уравнение

(2.2.1)

связывает усредненный заряд дисперсной частицы, а значит, и концентрацию электронов n_e=zn_p, со всеми остальными параметрами, характеризующими плазмозоль, а именно: температурой Т, размером частиц КДФ r_p, их концентрацией n_p (входит в определение D), работой выхода с поверхности материала частиц W.

Таким образом, исследование зависимости концентрации электронов n_e в равновесном плазмозоле идентичных частиц от определяющих параметров (Т, r_p, n_p, W) можно проводить на основе анализа решения (2.2.1) в пространстве параметров задачи. Общие параметры Т, n_p характеризуют систему в целом, а r_p, W определяют свойства отдельных макрочастиц. Если добавить сюда искомые параметры z и n_p, то каждая точка (Т, r_p, n_p, W, z, n_e) в пространстве параметров задачи будет определять некоторое состояние ионизации в плазмозоле. Причем реализующимся состояниям соответствуют точки, которые лежат на “поверхности”, задаваемой в пространстве параметров (2.2.1). Это уравнение множеству точек (Т, r_p, n_p, W) ставит в соответствие множество решений задачи (z, n_e).

Символически связь между z и определяющими параметрами запишем так:

F(z, T, W, n_p, r_p)=0 (2.2.2)

3. Ячеечные модели плазмы, содержащей частицы.

Расчет равновесных состояний ионизации в системах с сильным кулоновским взаимодействием частиц конденсированной фазы (К-фазы) и газа, т.е. в случае, когда

, (3.1)

не может быть реализован в рамках дебаевского рассмотрения, так как в правой части уравнения Пуассона (2.1.2) не представляется возможным связать средние по объему концентрации заряженных частиц с их локальными концентрациями в системе координат выделенной КЧ. Это привело к появлению моделей, использующих решение нелинейного уравнения Пуассона в ограниченной области – ячейке [20]. В существующих моделях этого класса для плазмозолей концентрация электронов вблизи поверхности КЧ определена законом термоэмиссии, а область электронейтральности содержит одну – сферическая симметрия (модель Гибсона [20], ее модификация) или две – цилиндрическая симметрия – частицы КДФ одинакового размера, которые в последнем случае могут отличаться сортом.

Главная особенность этих моделей в сферически симметричном случае – предположение о том, что весь объем плазмы можно заменить совокупностью сферических ячеек, каждая из которых содержит строго одну из идентичных сферических частиц. Для случая двух сортов частиц К-фазы объем плазмозоля заменяется совокупностью цилиндрических ячеек, содержащих две либо одинаковые, либо различающиеся сортом дисперсные частицы. Граничные условия для нелинейного уравнения Пуассона (2.1.2) выбираются на поверхности КЧ и на границе ячейки. Эти идеи распространяются на случай существенной нелинейности в правой части (2.1.2).

Статистический подход к моделированию электрофизических свойств НТП с КДФ, по характеру используемых представлений также может быть отнесен к классу ячеечных. Здесь ограниченная область экранирования выделенной КЧ является усредненным по ансамблю Гиббса электронейтральным объемом, в котором КЧ находится в последовательные моменты времени. Рассмотрим специфические особенности ячеечного подхода согласно работе Гибсона [20], в которой впервые изучена возможность распространения результатов, полученных для индивидуальных частиц К-фазы в ячейке на весь объем, занятый гетерогенной плазмой.

3.1. Ионизация системы газ – частицы в модели Гибсона.

В состоянии термодинамического равновесия распределение потенциала

и объемного заряда тесно связаны между собой и подчинены уравнению Пуассона (2.1.2). Термоионизационное равновесие системы газ – частицы будет полностью определено, если одновременно найдены оба распределения: заряда ρ и потенциала φ. Таким образом, описать ионизацию в плазме газ – частицы – значит решить уравнение Пуассона при некоторых упрощающих предположениях, используемых в модели.

В [20] предполагается, что в плазмозоле идентичных частиц (в системе макрочастицы + излученные ими электроны + электрически и химически нейтральный буферный газ) в состоянии термодинамического равновесия наблюдается однородная ионизация дисперсных частиц (все частицы К-фазы имеют один и тот же заряд q=ze, z – зарядовое число, е – элементарный заряд). Плазма электрически нейтральна, а распределения объемного заряда электронов и потенциала в плазме связаны больцмановским коэффициентом, т.е. электроны в поле частиц распределены по Больцману:

, (3.1.1)

где r – расстояние от центра макрочастицы; n_eb – концентрация электронов на расстоянии b от выделенной КЧ;

- электростатический потенциал; k – постоянная Больцмана; T – температура; b – радиус сферически-симметричной ячейки, в которой, согласно основному допущению модели [20], частица КДФ оказывается полностью за экранированной электронным газом, т.е.

(3.1.2)

Радиус b определяется объемом, отведенным в плазмозоле на одну дисперсную частицу:

. (3.1.3)

Связь электронной плотности в ячейке с распределением электростатического потенциала

задается уравнением (2.1.2), которое запишем:

. (3.1.4)

Учитывая граничные условия (3.1.2), имеем задачу Коши. Ее решение

параметрически зависит от концентрации электронов на границе ячейки n_eb. Если при этом известна электронная концентрация на поверхности КЧ, т.е. для r=r_p – радиусу частиц конденсата, приходим к замкнутой системе уравнений для определения концентрации электронов в плазме. Действительно, из уравнения Пуассона (3.1.4) находим параметрическую зависимость потенциала в ячейке от n_eb. Подставляя эту зависимость в распределение Больцмана (3.1.1) и учитывая, что , можно в символическом виде записать