Смекни!
smekni.com

Разработка теории радиогеохимического эффекта (стр. 4 из 9)

Из (4) получаем

.
(6)

Равенство (6) – решение уравнений характеристик.

Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости

,
, т.е. графики движения частиц при заданной скорости
, называются характеристиками уравнения (1).

Пусть при

,
, т.е.
;
.
(7)

Подставляя (7) в (2), получим

.
(8)

Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:

,
(9)
.
(10)

Подставим уравнение (10) в (9), получим

.
(11)

Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).

Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью

.

Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)

,
,
,
(1)
.
(2)
.
(3)

Рис.4.

На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при

начальное условие, а при
граничное условие,
граничная характеристика.

Для задачи Коши решенной ранее,

О
а)
О
б)
Рис. 5
(или
) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие
. Если
(
), то будет влиять только граничное условие
.

Получим решение для граничного решения.

(5)

Запишем уравнения (1) в виде

(6)(7)

Из (6) следует, что

, где
.

Учитывая (3) получим

.

Интегрируя (7) получаем

.
(8)

Пусть при

,
тогда
(9)

Разделим обе части (9) на

получим
.
(10)

При

,
.
(11)

Подставляя (11) в (3) получаем

.

Тогда решая систему

получаем решение граничной задачи в виде

.
(12)

В (12)

.

Решение начально-краевой задачи будет иметь вид

,

где

, единичная функция Хевисайда.

Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения

Построим формулу Даламбера для уравнения

,
,
(1)

Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.

.
(2)

Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:

(3)(4)

Интегрируя (4), получим

(5)

Пусть при

,
, тогда
.

Подставим (5) в (3), получим

.
,
(6)
,
(7)
.
(8)

Исключим в (6)

для этого учтем начальное условие (7).
,
.
(9)

Подставим (9) в (6), получим