Из (4) получаем
. | (6) |
Равенство (6) – решение уравнений характеристик.
Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости
, , т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1).Пусть при
, , т.е.; | |
. | (7) |
Подставляя (7) в (2), получим
. | (8) |
Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:
, | (9) |
. | (10) |
Подставим уравнение (10) в (9), получим
. | (11) |
Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1).
Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью
.Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)
, , , | (1) |
. | (2) |
. | (3) |
Рис.4.
На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при
начальное условие, а при граничное условие, граничная характеристика.Для задачи Коши решенной ранее,
О а) О б) Рис. 5 | (или ) (см. рис. 5) и влиять будет только начальное условие . Если ( ), то будет влиять только граничное условие . |
Получим решение для граничного решения.
(5) |
Запишем уравнения (1) в виде
(6)(7) |
Из (6) следует, что
, где .Учитывая (3) получим
.Интегрируя (7) получаем
. | (8) |
Пусть при
, тогда(9) |
Разделим обе части (9) на
получим. | (10) |
При
,. | (11) |
Подставляя (11) в (3) получаем
. |
Тогда решая систему
получаем решение граничной задачи в виде
. | (12) |
В (12)
.Решение начально-краевой задачи будет иметь вид
, |
где
, единичная функция Хевисайда.Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения
Построим формулу Даламбера для уравнения
, , | (1) |
Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.
. | (2) |
Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:
(3)(4) |
Интегрируя (4), получим
(5) |
Пусть при
, , тогда. |
Подставим (5) в (3), получим
. | |
, | (6) |
, | (7) |
. | (8) |
Исключим в (6)
для этого учтем начальное условие (7)., | |
. | (9) |
Подставим (9) в (6), получим