Фононы (стр. 3 из 4)
Системы частиц, которые описываются антисимметричной волновой функцией, подчиняются статистике Ферми – Дирака. Системы, которые описываются симметричной волновой функцией, подчиняются статистике Бозе – Эйнштейна.
Есть 2 различных класса систем, подчиняющихся статистике Бозе – Эйнштейна: 1) число частиц сохраняется (например, газ атомов гелия) и 2) число частиц не сохраняется (например, фононы и фотоны). Оба эти класса по своим свойствам совершенно отличны от систем, подчиняющихся статистике Ферми — Дирака [5].
Используя понятие фонона, степень возбуждения нормального колебания
можно рассматривать как число фононов в квантовом состоянии 
. Физическое описание фононов во многом аналогично описанию фотонов. При этом фононы подчиняются такому же статистическому распределению при температуре Т, как и осцилляторы Планка. В связи с этим число фононов в отдельном квантовом состоянии определяется функцией распределения Бозе – Эйнштейна: 
. (2.1.5) §2.2 Фононный спектр. Плотность фононных состояний. Свойства фононов
Расчет фононного спектра – сложная задача, требующая подробного знания сил, действующих между атомами. Определение плотности фононных состояний вносит дополнительные трудности. Поэтому плотность состояний моделируют простыми функциями, соответствующими простейшим моделям колебаний кристаллической решетки – Дебая и Эйнштейна.
Теория динамики решетки кристаллов включает в себя несколько уровней различающихся степенью микроскопичности и количеством параметров, определяемых вне рамок теории, например по экспериментальным данным.
На одном конце этого ряда – феноменологический метод силовых постоянных Борна фон Кармана, на другом – расчеты из первых принципов фононных спектров и других характеристик решетки, ставшие возможными в последнее время благодаря развитию методов расчета электронной структуры кристаллов и развитию ЭВМ. Между этими двумя крайними подходами находится множество эмпирических и полуэмпирических модельных теорий, так или иначе учитывающих физико-химические свойства конкретных материалов.
Характерной чертой модельных подходов к описанию динамики решетки является их не универсальность, невозможность переноса моделей с одного класса материалов на другой, отличающийся, например, типом химической связи, а также невозможность переноса атомных параметров моделей при изменении окружения атома в решетке.
Для экспериментального исследования дисперсии нормальных мод используются, в основном, рассеяние нейтронов и фотонов. Энергию, теряемую (или приобретаемую) нейтроном за счет взаимодействия с кристаллом, можно считать связанной с испусканием (поглощением) фононов.
Измеряя углы выхода и энергию рассеянных нейтронов, удается получить непосредственную информацию о фононном спектре. Аналогичную информацию можно получить из экспериментов по рассеянию электромагнитного излучения. Также используется измерение фононных спектров с помощью рассеяния света в видимом и инфракрасном диапазоне.
Введем функцию плотности фононных состояний как функцию распределения в статической физике. А именно, если обозначить данную функцию через g(ω), то величина g(ω)dω равна относительному числу dZ/Z фононных состояний в интервале частот (ω,ω + dω):
. (2.2.6)Условие нормировки для g(ω)будет следующим:
. (2.2.7)Иногда величину g(ω)dω рассматривают как абсолютное число dZ фононных состояний, в частности, для одного моля в интервале частот (ω,ω + dω) т.е.:
. (2.2.8)Тогда условие нормировки запишется в виде:
, (2.2.9)где 3NA – полное число нормальных колебаний в одном моле, а функция распределения g(ω) имеет размерность
. В литературе функцию g(ω) иногда называют фононным спектром.Получим выражение для плотности фононных состояний кристаллов в приближении Дебая. Для этого выделим объем в виде куба с ребром L.
Из теории колебаний известно, что в непрерывной среде могут распространяться волны любой частоты. Мы ограничимся рассмотрением только стоячих волн. Именно такие волны соответствуют тепловым возбуждениям континуума, т.к. все остальные волны быстро затухают. Будем рассматривать 3N стоячие упругие волны. Найдем функцию распределения таких волн в кубе объемом L3.
Известно, что стоячая волна существует тогда, когда вдоль выделенного направления укладывается целое число полуволн. Для произвольного направления рассматриваемого куба данное условие запишется в виде:
(2.2.10)Где
, 
, 
, – направляющие конусы; Lcos 
, Lcos 
, Lcos 
– проекции отрезка вдоль выбранного направления на декартовы оси координат, начало которых совпадает с вершиной куба; qx, qy, qz– числа полуволн вдоль каждой оси координат. Возведем (2.2.10) почленно в квадрат и сложим.С учетом того, что , получим:
(2.2.11) 
(2.2.12) 
(2.2.13)Уравнение (2.2.11) – уравнение сферы радиуса 2L/λ в обратном
пространстве волновых чисел q[2].
Если учесть, что внутри бруска могут распространяться волны разной длины, то целые числа qx, qy, qz очень мало отличаются друг от друга, следовательно, величину q можно считать квазинепрерывной. С другой стороны число q определяет все возможные фононные состояния. Воспользуемся принципом соответствия: от стоячей волны перейдем к картине гармонических осцилляторов. Как видно число всевозможных стоячих волн определяется набором чисел qx, qy, qz:
В данном случае воспользуемся свойством изотропности континуума: любое направление в континууме является равновероятным (эквивалентным). В формуле (3) величины qx, qy, qzзаведомо положительные, поэтому вероятности отвечает только 1/8 часть сферы. Объем данной 1/8 части:
(2.2.14)Известно, что каждому значению волнового числа q соответствуют три поляризации волн: одна продольная и две поперечные.
dZ=
q 
dq = g( 
)d (2.2.15)Определим g
( ) для продольных волн.Известно, что для звуковых волн
2
= 
, где 
-скорость распространения продольных волн.С учетом этого (2.2.10) запишется
q =
, dq = 
Тогда
dZ=
где V- объем куба.Имеем, что функция распределения для продольных волн равна:
q
(2.2.16)Аналогичные расчеты можно провести и для поперечных волн. Число поперечных стоячих волн в два раза больше, т.е.:
(2.2.17)Подставляя (17) в (16), получим
. (2.2.18)