Фононы (стр. 1 из 4)
Кафедра общей физики
Курсовая работа
Фононы
Выполнил:
Студент физического
Факультета
Научный руководитель:
Брест 2009
ГЛАВА 1. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПИ
§ 2.1 Статистика Бозе--Энштейна
ВВЕДЕНИЕ
Исследуя структуру вещества, ученые научились разглядывать отдельные атомы – пространственное разрешение сканирующих туннельных микроскопов вполне для этого достаточно. Однако временное разрешение до сих пор оставалось не важным.
Все, что видели экспериментаторы, это усредненное по времени положение атомов; отслеживать отдельные движения на атомном масштабе пока не удавалось. И вот, в недавних экспериментах группа американских ученных преодолела этот рубеж. Они смогли наблюдать колебания пока не атомов твердого тела, но уже их небольших групп. Они смогли увидеть фононы: как они осциллируют во времени. Из этого следует, что фононы привлекали интерес многих ученых мира, и будут привлекать до тех пор, пока они не будут изучены досконально. Именно этим и обусловлен выбор данной темы курсовой работы.
Именно фононы являются, как говорят физики, истинными степенями свободы в кристаллическом твердом теле. В терминах фононов можно описать и звуковые волны, и теплоемкость кристалла, и сверхпроводимость некоторых материалов, и, наконец, самые разнообразные микроскопические явления в кристалле.
В связи с выше сказанным целью данной курсовой работы является:
1. Изучение основ теории динамики кристаллической решетки, а именно колебаний атомов в одномерной цепи и непосредственно фононов.
2. Изучение статистики, которой подчиняются фононы, – статистики Бозе - Эйнштейна.
3.Рассмотрение фононного спектра и плотности фононных состояний.
Концепция фонона оказалась очень плодотворной в физике твёрдого тела. В кристаллических материалах атомы активно взаимодействуют между собой, и рассматривать в них такие термодинамические явления, как колебания отдельных атомов, затруднительно — получаются огромные системы из триллионов связанных между собой линейных дифференциальных уравнений, аналитическое решение которых невозможно. Колебания атомов кристалла заменяются распространением в веществе системы звуковыхволн, квантами которых и являются фононы.
ГЛАВА 1. КОЛЕБАНИЯ АТОМОВ В ОДНОМЕРНОЙ ЦЕПИ
§1.1 Уравнение движения
Кристалл представляет собой совокупность атомов, связанных упругими силами. Атомы взаимодействуют между собой с помощью различных сложных сил. Имеются как слабые, так и сильные взаимодействия, а также существуют силы притяжения и отталкивания, которые действуют на атомы и в точках устойчивого равновесия взаимно уравновешивают друг друга[5].
Каждый из атомов непрерывно движется (в частности колеблется) в области пространства с центром в узле кристаллической решетки. При этом они локализованы в объеме, который имеет определенную величину для каждого атома; объемы занятые различными атомами не перекрываются.
Узлы решетки – это положения равновесия для атомов, т.е. это точки, в которых уравновешиваются силы притяжения и отталкивания. При смещении атома силы перестают быть скомпенсированными и действуют так, чтобы уменьшить это смещение.
Атом имеет потенциальную энергию взаимодействия с каждым другим атомом в твердом теле, но за пределами некоторого расстояния, энергия взаимодействия становится пренебрежимо малой.
Вследствие этого в энергию взаимодействия необходимо включать только те атомы, которые находятся на разумном расстоянии от этого рассматриваемого атома. Число соседей, которое следует включить, определяется тем, как сила взаимодействия совпадает с расстоянием.
Атомы кристалла покоятся в узлах решетки только при абсолютном нуле температуры. При повышении температуры атомы начинают колебаться около своих положений устойчивого равновесия, поэтому нам необходимо рассмотреть динамику движения атомов в кристалле.
Рассмотрим простейший случай колебания одинаковых атомов в одномерной (линейной) решетке, подчиняющихся в своем движении законам классической механики.
Рисунок 1.Однородная линейная цепочка атомов
m0 – масса атома.
а – расстояние между атомами.
Закономерности, полученные для такой схематической одномерной модели, оправдываются и для трехмерных решеток. Кроме того, при достаточно высоких температурах движение атомов в кристалле действительно подчиняется законам классической механики.
Допустим, что вдоль цепочки распределяется продольная волна. Рассмотрим мгновенную фотографию расположения атомов.
И так рассмотрим линейную цепочку из одинаковых атомов с массами m
, отклоненных от равновесных узлов с номерами (n – 1), n, (n + 1) на величины ип-1 > 0, ип > 0, ип+1 < 0. В одномерном случае будем учитывать взаимодействие только ближайших (соседних) атомов, что не отражается существенным образом на результатах. Отклонения ип и силы, действующие на атомы, считаются положительными, если их направления совпадают с направлением положительной оси и отрицательными – в противоположном случае.[3]
Рисунок 2.Фотография расположения атомов продольной волны
При малых отклонениях атомов от положений равновесия (|u|<<а – расстояние между узлами), силы взаимодействия можно рассматривать как квазиупругие, т. е. пропорциональные изменению расстояния между атомами. Таким образом, силы, действующие на n-й атом со стороны (n – 1)-го и (n + 1)-ro атомов, равны:
fn,n-1= – β(ип – ип-1) и fn,n+1= – β(ип – ип+1), (1.1.1)
где β>0 – коэффициент квазиупругой силы.
Результирующая сила, действующая на n-й атом,
fn = fn,n-1 + fn,n+1= – β(2ип – ип-1 – ип+1). (1.1.2)
Воспользуемся вторым законом Ньютона:
(1.1.3)Объединяя (1.1.2) и (6), получим:
(1.1.4)(1.1.4) – уравнение движения отдельного атома,
где
. (1.1.5)Выражение для силы fn может быть получено и другим путем. Потенциальная энергия решетки Ф есть функция от отклонений атомов ип. Разлагая Ф в ряд по степеням малых отклонений ип, получим
, (1.1.6)где индекс 0 указывает, что все ип положены равными нулю. Не ограничивая общности, полагаем потенциальную энергию основного состояния Ф(0) = 0.
Так как значение ип = 0 соответствует равновесию системы, то
. (1.1.7)Для бесконечной атомной цепочки коэффициенты
, (1.1.8)т. е. зависят только от расстояния между n-м и п'-м узлами. По определению сила
fn=
. (1.1.9)Если все ип' = const = u0, то сила
fn = 0 =
, (1.1.10)где и пробегает все значения. Если учитывать только ближайших к атому п соседей, то п' = п, n+ 1, n—1, и мы получим А(0) + А(1) + А(-1) = 0. Видно, что (1.1.9) дает тоже выражение для силы fn что и (1.1.3), если положить А(1) = - 1/2A(O) = β [6].
Решение уравнения (1.1.3) представляет сложность, но бесконечная атомная цепочка с квазиупруго взаимодействующими атомами напоминает натянутую струну. Известно, что для бесконечной струны существует простой тип движения в виде бегущей монохроматической волны, для которой отклонение и струны от положения равновесия в точках х в момент t будет:
и(х, t) = Asin2π(x/λ – vt), (1.1.11)
где А — амплитуда, λ—длина волны и v—частота. Вводя циклическую частоту ω = 2πν и волновое число q = 2π/λ, получим
и (х, t) = A sin (qx—ωt). (1.1.12)
Если мы условимся рассматривать не только положительные, но и отри-цательные значения q, то наряду с волной, распространяющейся вдоль положительной оси x(q > 0), получим волны, бегущие в противоположном направлении (q < 0). Если учтем, что уравнение колебания струны линейно, так что сумма решений является также интегралом уравнения, то во многих случаях представляется математически более удобным пользоваться комплексной формой решения в виде
и(х, t) = Aei(qx-ωt), ( 1.1.13)
где амплитуда А может быть комплексным числом.
Систему (1.1.3) решим посредством подстановки
un = Aei(qan-ωt), (1.1.14)
где а – расстояние между узлами. Подставив (1.1.14) в (1.1.3) получим
ω2=2β/m(1-cosqa) или ω=ωm 
, (1.1.15)
где ωm=
Решения (1.1.14) типа бегущей волны удовлетворяют уравнениям (1.1.3) для любого п, если частота ω связана с волновым числом q (или длиной волны λ) соотношением дисперсии (1.1.15)[2].