Движение в центрально-симметричном поле (стр. 2 из 6)

Для обозначения состояний с различными значениями момента

частицы существует общепринятая символика; состояния обозначаются буквами латинского алфавита со следующим соответствием:

1 2 3 4 5 6 7 . . .

(1,13)

Нормальным состоянием при движении частицы в центрально-симметричном поле всегда является

- состояние; действительно, при угловая часть волновой функции во всяком случае имеет узлы, между тем как волновая функция нормального состояния не должна иметь узлов вовсе. Можно также утверждать, что наименьшее возможное при заданном собственное значение энергии растет с увеличением . Это следует уже из того, что наличие момента связано с добавлением в гамильтониане существенно положительного члена , растущего с увеличением .

Определим вид радиальной функции вблизи начала координат. При этом будет считать, что

(1,14)

Ищем

в виде степенного ряда по , оставляя при малых только первый член разложения; другими словами, ищем в виде . Подставляя это в уравнение

,

получающееся из (1,8) умножением последнего на

и переходя к , найдем

.

Отсюда

или .

Решение

не удовлетворяет необходимым условиям; оно обращается в бесконечность при ( напомним, что ). Таким образом, остается решение с , т.е. вблизи начала координат волновые функции состояний с данным пропорциональны :

. (1,15)

Вероятность частице находиться на расстоянии от центра между

и определяется величиной и поэтому пропорциональна . Мы видим, что она тем быстрее обращается в нуль в начале координат, чем больше значение .

2. Падение частицы на центр.

Для выяснения некоторых особенностей квантовомеханического движения полезно изучить случай, не имеющий, правда, непосредственного физического смысла, - движение частицы в поле с потенциальной энергией, обращающейся в некоторой точке ( начале координат ) в бесконечность по закону

; вид поля вдали от начала координат нас не будет интересовать. Этот случай – промежуточный между теми, когда имеются обычные стационарные состояния, и случаями, когда происходит «падение» частицы на начало координат.

Вблизи начала координат уравнение Шредингера в рассматриваемом случае будет следующим:

(2,1)

(

- радиальная часть волновой функции), где введена постоянная

(2,2)

и опущены все члены более низкого порядка по

; значение энергии предполагается конечным, и потому соответствующий член в уравнении тоже опущен.

Ищем

в виде ; тогда получаем для квадратное уравнение

с двумя корнями

, (2,3)

Для дальнейшего исследования удобно поступить следующим образом. Выделим вокруг начала координат малую область радиуса

и заменим функцию в этой области постоянной величиной . Определив волновые функции в таком «обрезанном» поле, мы затем посмотрим, что получается при переходе к пределу .

Предположим сначала, что

. Тогда и - вещественные отрицательные числа, причем > . При общее решение уравнения Шредингера имеет вид ( везде речь идет о малых )

(2,4)

(

- постоянные). При решение уравнения

конечное в начале координат, имеет вид

(2,5)

При

функция и ее производная должны быть непрерывными функциями. Удобно написать одно из условий в виде условия непрерывности логарифмической производной от . Это приводит к уравнению

или