Движение в центрально-симметричном поле (стр. 6 из 6)
, 
(3,32)Вместе с правилом
эти соотношения формально совпадают с правилами коммутации операторов бесконечно малых поворотов в четырехмерном евклидовом пространстве. Это и есть симметрия кулоновой задачи в квантовой механике.Из соотношений коммутации (3,32) можно снова получить выражение для уровней энергии в кулоновом поле. Перепишем их, введя вместо
и 
операторы
, 
. (3,33)Для них имеем
, 
, 
(3,34)Эти правила формально совпадают с правилами коммутации двух независимых векторов трехмерного импульса. Поэтому собственные значения каждого из квадратов
и 
равны 
и 
, где 
. С другой стороны, по определению операторов 
и 
, находим, после простого вычисления: 
, 
( при вычислении суммы
снова заменено 
на 
). Отсюда 
(где
) и затем 
.Обозначив
, 
, (3,35)приходим к требуемому результату
. Кратность вырождения уровней равна, как и следовало: 
. Наконец, поскольку 
, то при заданном 
орбитальный момент пробегает значения от 
до 
.[1] Предполагается, что при малых
поле таково, что падения частицы не происходит.