Курс физики (стр. 116 из 157)
С другой стороны, микрообъекты не могут иметь одновременно и определенную координату, и определенную соответствующую проекцию импульса (задаются соотношением неопределенностей (215.1)), поэтому и делается вывод о том, что в начальный момент времени состояние системы точно не определяется. Если же состояние системы не определено в начальный момент времени, то не могут быть предсказаны и последующие состояния, т. е. нарушается принцип причинности.
Однако никакого нарушения принципа причинности применительно к микрообъектам не наблюдается, поскольку в квантовой механике понятие состояния микрообъекта приобретает совершенно иной смысл, чем в классической механике. В квантовой механике состояние микрообъекта полностью определяется волновой функцией Ψ(x, у, z, t), квадрат модуля которой
|Ψ (x, у, z, t)|2 задает плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатами х, у, z.
В свою очередь, волновая функция Ψ (х, у, z, t) удовлетворяет уравнению Шредингера (217.1), содержащему первую производную функции Ψ по времени. Это же означает, что задание функции Ψ0 (для момента времени t0) определяет ее значение в последующие моменты. Следовательно, в квантовой механике начальное состояние Ψ0 есть причина, а состояние Ψ в последующий момент — следствие. Это и есть форма принципа причинности в квантовой механике, т.
е. задание функции Ψ0 предопределяет ее значения для любых последующих моментов. Таким образом, состояние системы микрочастиц, определенное в квантовой механике, однозначно вытекает из предшествующего состояния, как того требует принцип причинности.
§ 219. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Свободная частица — частица, движущаяся в отсутствие внешних полей. Так как на свободную частицу (пусть она движется вдоль оси х) силы не действуют, то потенциальная энергия частицы U(x) = const и ее можно принять равной нулю. Тогда полная энергия частицы совпадает с ее кинетической энергией. В таком случае уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний примет вид
(219.1)Прямой подстановкой можно убедиться в том, что частным решением уравнения (219.1) является функция ψ(x) = Aeikx, где A = const и k = const, с собственным значением энергии
(219.2)Функция ψ(x) = Aeikx = Ae(i/k)√2mEx представляет собой только координатную часть волновой функции Ψ(х, t). Поэтому зависящая от времени волновая функция, согласно (217.4),
(219.3)(здесь ω = E/ℏ и k = px/ℏ). функция (219.3) представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля (см. (217.2)).
Из выражения (219.2) следует, что зависимость энергии от импульса
оказывается обычной для нерелятивистских частиц. Следовательно, энергия свободной частицы может принимать любые значения (так как волновое число k может принимать любые положительные значения), т. е. ее энергетический спектр является непрерывным.
Таким образом, свободная квантовая частица описывается плоской монохроматической волной де Бройля. Этому соответствует не зависящая от времени плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства
т. е. все положения свободной частицы в пространстве являются равновероятными.
§ 220. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ
«ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ» Е БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ «СТЕНКАМИ»
Проведем качественный анализ решений уравнения Шредингера применительно к частице в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками». Такая «яма» описывается потенциальной энергией вида (для простоты принимаем, что частица движется вдоль оси х)
где l — ширина «ямы», а энергия отсчитывается от ее дна (рис. 296).
Рис. 296
Уравнение Шредингера (217.5) для стационарных состояний в случае одномерной задачи запишется в виде
(220.1)По условию задачи (бесконечно высокие «стенки»), частица не проникает за пределы «ямы», поэтому вероятность ее обнаружения (а следовательно, и волновая функция) за пределами «ямы» равна нулю. На границах «ямы» (при х = 0 и х = l) непрерывная волновая функция также должна обращаться в нуль.
Следовательно, граничные условия в данном случае имеют вид
(220.2)В пределах «ямы» (0 ≤ х ≤ l) уравнение Шредингера (220.1) сведется к уравнению
или
(220.3)
где (220.4) Общее решение дифференциального уравнения (220.3):
Ψ(x) = Asin kx + Bcos kx.
Так как по (220.2) ψ(x) = 0, то B = 0. Тогда
(220.5)Условие (220.2) Ψ(l) = Asin kl выполняется только при kl = nπ, где n — целые числа, т. е. необходимо, чтобы
(220.6)Из выражений (220.4) и (220.6) следует, что
(220.7)т. е. стационарное уравнение Шредингера, описывающее движение частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками», удовлетворяется только при собственных значениях , зависящих от целого числа n. Следовательно, энергия En частицы в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» принимает лишь определенные дискретные значения, т. е. квантуется. Квантованные значения энергии En называются уровнями энергии, а число л, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом. Таким образом, микрочастица в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» может находиться только на определенном энергетическом уровне En, или, как говорят, частица находится в квантовом состоянии n.
Подставив в (220.5) значение k из (220.6), найдем собственные функции:
Постоянную интегрирования А найдем из условия нормировки (216.3), которое для данного случая запишется в виде
В результате интегрирования получим
а собственные функции будут иметь вид
(220.8)Графики собственных функций (220.8), соответствующие уровням энер-
гии (220.7) при n = 1, 2, 3, приведены на рис. 297,а. На рис. 297,б изображена плотность вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от
«стенок» ямы, равная |Ψn(x)|2 = Ψn(x) Ψ*n(x) для n = 1, 2 и 3.
Рис. 297
Из рисунка следует, что, например, в квантовом состоянии с n = 2 частица не может находиться в середине «ямы», в то время как одинаково часто может пребывать в ее левой и правой частях. Такое поведение частицы указывает на то, что представления о траекториях частицы в квантовой механике несостоятельны.
Из выражения (220.7) вытекает, что энергетический интервал между двумя сосед ними уровнями равен
(220.9)Например, для электрона при размерах ямы l = 10-1 м (свободные электроны в металле) ∆En ≈ 10-35 n Дж ≈10-16 n эВ, т. е. энергетические уровни расположены столь тесно, что спектр практически можно считать непрерывным. Если же размеры ямы соизмеримы с атомными (l = 10-10 м), то для электрона
∆En ≈ 10-17 n Дж ≈102 n эВ, т. е. получаются явно дискретные значения энергии (линейчатый спектр). Таким образом, применение уравнения Шредингера к частице в «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» приводит к квантованным значениям энергии, в то время как классическая механика на энергию этой частицы никаких ограничений не накладывает.
Кроме того, квантово-механическое рассмотрение данной задачи приводит к выводу, что частица «в потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» не может иметь энергию меньшую, чем минимальная энергия, равная π2ℏ2/(2ml2). Наличие отличной от нуля минимальной энергии не случайно и вытекает из соотношения неопределенностей. Неопределенность координаты
Аде частицы в «яме» шириной l равна ∆x = l. Тогда, согласно соотношению неопределенностей (215.1), импульс не может иметь точное, в данном случае нулевое, значение. Неопределенность импульса ∆р ≈ h/l. Такому разбросу значений импульса соответствует кинетическая энергия Emin ≈ (∆p)2/(2m) = h2/(2ml2). Все остальные уровни (n > 1) имеют энергию, превышающую это минимальное значение.