Курс физики (стр. 24 из 157)
§ 42. УРАВНЕНИЕ КЛАПЕЙРОНА — МЕНДЕЛЕЕВА
Как уже указывалось, состояние некоторой массы газа определяется тремя термодинамическими параметрами: давлением р, объемом V и температурой Т. Между этими параметрами существует определенная связь, называемая уравнением состояния, которое в общем виде дается выражением
где каждая из переменных является функцией двух других.
Французский физик и инженер Б. Клапейрон (1799—1864) вывел уравнение состояния идеального газа, объединив законы Бойля — Мариотта и ГейЛюссака. Пусть некоторая масса газа занимает объем V1, имеет давление p1 и находится при температуре T1. Эта же масса газа в другом произвольном состоянии характеризуется параметрами р2, V2, Т2 (рис. 63). Переход из состояния 1 в состояние 2 осуществляется в виде двух процессов: 1) изотермического (изотерма 1 — 1′, 2) изохорного (изохора 1′ - 2).
Рис. 63
В соответствии с законами Бойля — Мариотта (41.1) и Гей-Люссака (41.5) запишем:
(42.1) (42.2)Исключив из уравнений (42.1) и (42.2) p′1, получим
Так как состояния 1 и 2 были выбраны произвольно, то для данной массы газа величина pV/T остается постоянной, т. е.
(42.3)Выражение (42.3) является уравнением Клапейрона, в котором В — газовая постоянная, различная для разных газов.
Русский ученый Д. И. Менделеев (1834—1907) объединил уравнение Клапейрона с законом Авогадро, отнеся уравнение (42.3) к одному молю, использовав молярный объем Vm. Согласно закону Авогадро, при одинаковых р и Т моли всех газов занимают одинаковый молярный объем Vm, поэтому постоянная B будет одинаковой для всех газов. Эта общая для всех газов постоянная обозначается R и называется молярной газовой постоянной. Уравнению
(42.4)удовлетворяет лишь идеальный газ, и оно является уравнением состояния идеального газа, называемым также уравнением Клапейрона — Менделеева.
Числовое значение молярной газовой постоянной определим из формулы
(42.4), полагая, что моль газа находится при нормальных условиях (р0= 1,013⋅105 Па, T0 = 273,15 К, Vm = 22,41⋅10-3 мэ/моль): R = 8,31 Дж/(моль⋅К).
От уравнения (42.4) для моля газа можно перейти к уравнению Клапейрона — Менделеева для произвольной массы газа. Если при некоторых заданных давлении и температуре один моль газа занимает молярный объем Vm, то при тех же условиях масса m газа займет объем V= (т/М)⋅ Vm, где М — молярная масса (масса одного моля вещества). Единица молярной массы — килограмм на моль (кг/моль). Уравнение Клапейрона — Менделеева для массы т
газа
(42.5)где v=m/M — количество вещества.
Часто пользуются несколько иной формой уравнения состояния идеального газа, вводя постоянную Больцмана:
Исходя из этого уравнение состояния (42.4) запишем в виде
где NA/Vm = n — концентрация молекул (число молекул в единице объема). Таким образом, из уравнения
(42.6)следует, что давление идеального газа при данной температуре прямо пропорционально концентрации его молекул (или плотности газа). При одинаковых температуре и давлении все газы содержат в единице объема одинаковое число молекул. Число молекул, содержащихся в 1 м3 газа при нормальных условиях, называется числом Лошмндта[15]:
§ 43. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ МОЛЕКУЛЯРНО-КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ИДЕАЛЬНЫХ ГАЗОВ
Для вывода основного уравнения молекулярно-кинетической теории рассмотрим одно атомный идеальный газ. Предположим, что молекулы газа движутся хаотически, число взаимных столкновений между молекулами газа пренебрежимо мало по сравнению с числом ударов о стенки сосуда, а соударения молекул со стенками сосуда абсолютно упругие. Выделим на стенке сосуда некоторую элементарную площадку ∆S (рис. 64) и вычислим давление, оказываемое на эту площадку. При каждом соударении молекула, движущаяся перпендикулярно площадке, передает ей импульс m0v - (- т0) = 2т0v, где m0 — масса молекулы, v — ее скорость. За время ∆t площадки ∆S достигнут только те молекулы, которые заключены в объеме цилиндра с основанием ∆S и высотой v∆t (рис. 64). Число этих молекул равно n∆Sv∆t (n — концентрация молекул).
Рис. 64
Необходимо, однако, учитывать, что реально молекулы движутся к площадке ∆S под разными углами и имеют различные скорости, причем скорость молекул при каждом соударении меняется. Для упрощения расчетов хаотическое движение молекул заменяют движением вдоль трех взаимно перпендикулярных направлений, так что в любой момент времени вдоль каждого из них движется 1/3 молекул, причем половина молекул - 1/6 - движется вдоль данного направления в одну сторону, половина — в противоположную. Тогда число ударов молекул, движущихся в заданном направлении, о площадку ∆S будет l/6 n∆Sv∆t. При столкновении с площадкой эти молекулы передадут ей импульс
Тогда давление газа, оказываемое им на стенку сосуда,
(43.1)Если газ в объеме V содержит N молекул, движущихся со скоростями v1, v2, ..., VN, то целесообразно рассматривать среднюю квадратичную скорость
(43.2)характеризующую всю совокупность молекул таза. Уравнение (43.1) с учетом
(43.2) примет вид
(43.3)Выражение (43.3) называется основным уравнением молекулярнокинетнческой теории идеальных газов. Точный расчет с учетом движения молекул по всевозможным направлениям дает ту же формулу.
или(43.4) (43.5)
Учитывая, что n=N/V, получим
где Е — суммарная кинетическая энергия поступательного движения всех
молекул газа.
Так как масса газа m=Nm0, то уравнение (43.4) можно переписать в виде
Для одного моля газа т = М (М — молярная масса), поэтому
где Fm — молярный объем. С другой стороны, по уравнению Клапейрона
— Менделеева, pVm = RT. Таким образом,
откуда
(43.6)Так как M = m0NA — масса одной молекулы, а NА — постоянная Авогадро, то из уравнения (43.6) следует, что
(43.7)где k=R/NA — постоянная Больцмана. Отсюда найдем, что при комнатной температуре молекулы кислорода имеют среднюю квадратичную скорость 480 м/с, водорода — 1900 м/с. При температуре жидкого гелия те же скорости будут соответственно 40 и 160 м/с.
Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы идеального газа
(43.8)(использовали формулы (43.5) и (43.7)) пропорциональна термодинамической температуре и зависит только от нее. Из этого уравнения следует, что при Т=0 <ε0> = 0, т. е. при 0 К прекращается поступательное движение молекул газа, а следовательно, его давление равно нулю. Таким образом, термодинамическая температура является мерой средней кинетической энергии поступательного движения молекул идеального газа, и формула (43.8) раскрывает молекулярнокинетическое толкование температуры.
§ 44. ЗАКОН МАКСВЕЛЛА О РАСПРЕДЕЛЕНИИ МОЛЕКУЛ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ И ЭНЕРГИЯМ ТЕПЛОВОГО ДВИЖЕНИЯ
При выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории молекулам зада вали различные скорости. В результате многократных соударений скорость каждой молекулы изменяется по модулю и направлению. Однако из-за хаотического движения молекул все направления движения являются равновероятными, т. е. в любом направлении в среднем движется одинаковое число молекул.