Курс физики (стр. 53 из 157)
149).
Рис. 149
Направление обхода по часовой стрелке примем за положительное, отметив, что выбор этого направления совершенно произволен. Все токи, совпадающие по направлению с направлением обхода контура, считаются положительными, не совпадающие с направлением обхода — отрицательными. Источники тока считаются положительными, если они создают ток, направленный в сторону обхода контура. Применяя к участкам закон Ома (100.3), можно записать:
Складывая почленно эти уравнения, получим
(101.1)Уравнение (101.1) выражает второе правило Кирхгофа: в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма произведений сил токов Ii на сопротивления Ri, соответствующих участков этого контура равна алгебраической сумме э.д.с. ξk, встречающихся в этом контуре:
(101.2)При расчете сложных цепей постоянного тока с применением правил Кирхгофа необходимо:
1. Выбрать произвольное направление токов на всех участках цепи; действительное направление токов определяется при решении задачи: если искомый ток получится положительным, то его направление было выбрано правильно, отрицательным — его истинное направление противоположно выбранному.
2. Выбрать направление обхода контура и строго его придерживаться; произведение IR положительно, если ток на данном участке совпадает с направлением обхода, и, наоборот, э.д.с., действующие по выбранному направлению обхода, считаются положительными, против — отрицательными.
3. Составить столько уравнений, чтобы их число было равно числу искомых величин (в систему уравнений должны входить все сопротивления и э.д.с. рассматриваемой цепи); каждый рассматриваемый контур должен содержать хотя бы один элемент, не содержащийся в предыдущих контурах, иначе получатся уравнения, являющиеся простой комбинацией уже составленных.
В качестве примера использования правил Кирхгофа рассмотрим схему (рис. 150) измерительного моста Уитстона[23].
Рис. 150
Сопротивления R1, R2, R3 и R4 образуют его «плечи». Между точками А и В моста включена батарея с э.д.с. ξ и сопротивлением r, между точками С и D включен гальванометр с сопротивлением RG. Для узлов А. В и С, применяя первое правило Кирхгофа, получим
(101.3)Для контуров АСВA, ACDA и CBDC, согласно второму правилу Кирхгофа, можно записать:
(101.4) Если известны все сопротивления и э.д.с,, то, решая полученные шесть уравнений, можно найти неизвестные токи. Изменяя известные сопротивленияR2, R3 и R4 можно добиться того, чтобы ток через гальванометр был равен нулю (IG = 0). Тогда из (101.3) найдем
(101.5)а из (101.4) получим
(101.6)
Из (101.5) и (101.6) вытекает, что
(101.7)Таким образом, в случае равновесного моста (IG = 0) при определении искомого сопротивления R1 Э.Д.С. батареи, сопротивления батареи и гальванометра роли не играют.
На практике обычно используется реохордный мост Унтстоиа (рис. 151), где сопротивления R3 и R4 представляют собой длинную однородную проволоку (реохорд) с большим удельным сопротивлением, так что отношение R3/R4 можно заменить отношением l3/l4.
Рис. 151
Тогда, используя выражение (101.7), можно записать
(101.8)Длины l3 и l4 легко измеряются по шкале, а R2 всегда известно. Поэтому уравнение (101.8) позволяет определить неизвестное сопротивление R1.
ЗАДАЧИ
12.1. По медному проводнику сечением 1 мм2 течет ток; сила тока 1 А. Определить среднюю скорость упорядоченного движения электронов вдоль проводника, предполагая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон. Плотность меди 8,9 г/см3. [74 мкм/с]
12.2. Определить, во сколько раз возрастет сила тока, проходящего через платиновую печь, если при постоянном напряжении на зажимах ее температура повышается от t1 =20°С до t2 = 1200°С. Температурный коэффициент сопротивления платины принять равным 3,65⋅10-3 К-1. [В 5 раз]
12.3. По медному проводу сечением 0,3 мм2 течет ток 0,3 А. Определить силу, действующую на отдельные свободные электроны со стороны электрического поля. Удельное сопротивление меди 17 нОм⋅м. [2,72⋅10 -21 Н]
12.4. Сила тока в проводнике сопротивлением 10 Ом равномерно убывает от I0 =3 А до I = 0 за 30 с. Определить выделившееся за это время в проводнике количество теплоты. [900 Дж]
12.5. Плотность электрического тока в алюминиевом проводе равна 5 А/см2. Определить удельную тепловую мощность тока, если удельное сопротивление алюминия 26 нОм-м. [66 Дж/(м3.с)]
12.6. Определить внутреннее сопротивление r источника тока, если во внешней цепи при силе тока I1 = 5 А выделяется мощность P1 = 10 Вт, а при силе тока I2 = 8 А — мощность Р2 = 12 Вт. [0.17 Ом]
12.7. Три источника тока с э.д.с. E1 = 1,8 В, E2 = 1,4 В и E3 = 1,1 В соединены накоротко одноименными полюсами. Внутреннее сопротивление первого источника r1 =0,4 Ом, второго— г2 = 0,6 Ом. Определить внутреннее сопротивление третьего источника, если через первый источник идет ток I1 = 1,13 А. [0,2 Ом]
ГЛАВА 13 ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ТОКИ В МЕТАЛЛАХ, ВАКУУМЕ И ГАЗАХ
§ 102. ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КЛАССИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ
Носителями тока в металлах являются свободные электроны, т. е. электроны, слабо связанные с ионами кристаллической решетки металла. Это представление о природе носителей тока в металлах основывается на электронной теории проводимости метал лов, созданной немецким физиком П. Друде (1863—1906) и разработанной впоследствии нидерландским физиком X. Лоренцем, а также на ряде классических опытов, подтверждающих положения электронной теории.
Первый из таких опытов — опыт Рикке[24] (1901), в котором в течение года электрический ток пропускался через три последовательно соединенных с тщательно отшлифованными торцами металлических цилиндра (Сu, А1, Сu) одинакового радиуса. Несмотря на то, что общий заряд, прошедший через эти цилиндры, достигал огромного значения (≈3,5⋅106 Кл), никаких, даже микроскопических, следов переноса вещества не обнаружилось. Это явилось экспериментальным доказательством того, что ионы в металлах не участвуют в переносе электричества, а перенос заряда в металлах осуществляется частицами, которые являются общими для всех металлов. Такими частицами могли быть открытые в 1897 г. английским физиком Д. Томсоном (1856—1940) электроны.
Для доказательства этого предположения необходимо было определить знак и величину удельного заряда носителей (отношение заряда носителя к его массе). Идея подобных опытов заключалась в следующем: если в металле имеются подвижные, слабо связанные с решеткой носители тока, то при резком торможении проводника эти частицы должны по инерции смещаться вперед, как смещаются вперед пассажиры, стоящие в вагоне при его торможении. Результатом смещения зарядов должен быть импульс тока; по направлению тока можно определить знак носителей тока, а зная размеры и сопротивление проводника, можно вычислить удельный заряд носителей. Идея этих опытов (1913) и их качественное воплощение принадлежат российским физикам С. Л. Мандельштаму (1879—1944) и Н. Д. Папалекси (1880—1947). Эти опыты в 1916 г. были усовершенствованы и проведены американским физиком Р. Толменом (1881—1948) и ранее шотландским физиком Б. Стюартом (1828—1887). Ими экспериментально доказано, что носители тока в металлах имеют отрицательный заряд, а их удельный заряд приблизительно одинаков для всех исследованных металлов. По значению удельного заряда носителей электрического тока и по определенному ранее Р. Милликеном элементарному электрическому заряду была определена их масса. Оказалось, что значения удельного заряда и массы носителей тока и электронов, движущихся в вакууме, совпадали. Таким образом, было окончательно доказано, что носителями электрического тока в металлах являются свободные электроны.
Существование свободных электронов в металлах можно объяснить следующим образом: при образовании кристаллической решетки металла (в результате сближения изолированных атомов) валентные электроны, сравнительно слабо связанные с атомными ядрами, отрываются от атомов металла, становятся «свободными» и могут перемещаться по всему объему. Таким образом, в узлах кристаллической решетки располагаются ионы металла, а между ними хаотически движутся свободные электроны, образуя своеобразный электронный газ, обладающий, согласно электронной теории металлов, свойствами идеального газа.