Курс физики (стр. 66 из 157)

(127.1)

Разделив в выражении (127.1) переменные, получим ^dI = − ^R dt.. Интег-

I L

рируя это уравнение по I (от I₀ до I) и t (от 0 до f), находим In (I/I₀) = —Rt/L, или

(127.2)

где t = L/R — постоянная, называемая временем релаксации. Из (127.2) следует, что т есть время, в течение которого сила тока уменьшается в е раз.

Таким образом, в процессе отключения источника тока сила тока убывает по экспоненциальному закону (127.2) и определяется кривой 1 на рис. 183. Чем больше индуктивность цепи и меньше ее сопротивление, тем больше τ и, следовательно, тем медленнее уменьшается ток в цепи при ее размыкании.

Рис. 183

При замыкании цепи помимо внешней э. д. с. ξ возникает э. д. с. самоин-

дукции ζ_S = −L

^dI , препятствующая, согласно правилу Ленца, возрастанию dt

тока. По закону Ома, IR = ξ + ξ_S или

Введя новую переменную u = IR - ξ , преобразуем это уравнение к виду

где τ — время релаксации.

В момент замыкания (t = 0) сила тока I = 0 и u = -ℰ . Следовательно, интегрируя по u (от - ℰ до IR - ℰ ) и t (от 0 до t), находим In [(IR - ℰ)]/ -ℰ = -t/τ, или

(127.3)

где I₀ = ℰ/R — установившийся ток (при t → ∞).

Таким образом, в процессе включения источника тока нарастание силы тока в цепи задается функцией (127.3) и определяется кривой 2 на рис. 183. Сила тока возрастает от начального значения I = 0 и асимптотически стремится к установившемуся значению I₀ = ℰ /R. Скорость нарастания тока определяется тем же временем релаксации τ = L/R, что и убывание тока. Установление тока происходит тем быстрее, чем меньше индуктивность цепи и больше ее сопротивление.

Оценим значение э.д.с. самоиндукции ℰ_S, возникающей при мгновенном увеличении сопротивления цепи постоянного тока от R₀ до R. Предположим, что мы размыкаем контур, когда в нем течет установившийся ток I₀ = ℰ/R₀. При размыкании цепи ток изменяется по формуле (1272). Подставив в нее выражение для I₀ и т, получим

Э.д.с. самоиндукции

т. е. при значительном увеличении сопротивления цепи (R/R₀ ≫ 1), обладающей большой индуктивностью, э.д.с. самоиндукции может во много раз превышать э.д.с. источника тока, включенного в цепь. Таким образом, необходимо учитывать, что контур, содержащий индуктивность, нельзя резко размыкать, так как это (возникновение значительных э.д.с. самоиндукции) может привести к пробою изоляции и выводу из строя измерительных приборов. Если в контур сопротивление вводить постепенно, то э.д.с. самоиндукции не достигнет больших значений.

§ 128. ВЗАИМНАЯ ИНДУКЦИЯ

Рассмотрим два неподвижных контура (1 и 2), расположенных достаточно близко друг от друга (рис. 184).

Рис. 184

Если в контуре 1 течет ток I₁ то магнитный поток, создаваемый этим током (поле, создающее этот поток, на рисунке изображено сплошными линиями), пропорционален I₁. Обозначим через Ф₂₁ ту часть потока, которая пронизывает контур 2. Тогда

(128.1)

где L₂₁ — коэффициент пропорциональности.

Если ток I₁ изменяется, то в контуре 2 индуцируется э.д.с. ℰ₁₂, которая по закону Фарадея (см. (123.2)) равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф₂₁ созданного током в первом контуре и пронизывающего второй:

Аналогично, при протекании в контуре 2 тока I₂ магнитный поток (его поле изображено на рис. 184 штриховыми линиями) пронизывает первый контур. Если Ф₁₂ — часть этого потока, пронизывающего контур 1, то

Если ток I₂ изменяется, то в контуре 1 индуцируется э.д.с. ℰ_i1, которая равна и противоположна по знаку скорости изменения магнитного потока Ф₁₂, созданного током во втором контуре и пронизывающего первый:

Явление возникновения э.д.с. в одном из контуров при изменении силы тока в другом называется взаимной индукцией. Коэффициенты пропорциональности L₂₁ и L₁₂ называются взаимной индуктивностью контуров. Расчеты, подтверждаемые опытом, показывают, что L₂₁ и L₁₂ равны друг другу, т. е.

(128.2)

Коэффициенты L₁₂ и L₂₁ зависят от геометрической формы, размеров, взаимного расположения контуров и от магнитной проницаемости окружающей контуры среды. Единица взаимной индуктивности та же, что и для индуктивности, — генри (Гн).

Рассчитаем взаимную индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник. Этот случай имеет большое практическое значение (рис. 185).

Рис. 185

Магнитная индукция поля, создаваемого первой катушкой с числом витков N₁, током I₁ и магнитной проницаемостью µ сердечника, согласно (119.2),

B =µ₀^{µ N 1 I1} _, где l — длина сердечника по средней линии. Магнитный

l

поток сквозь один виток второй катушки Φ₂ = BS =µ_0µ^N1I1 S..

l

Тогда полный магнитный поток (потокосцепление) сквозь вторичную обмотку, содержащую N₂витков,

Поток Ψ создается током I₁ поэтому, согласно (128.1), получаем

(128.3)

Если вычислить магнитный поток, создаваемый катушкой 2 сквозь катушку 1, то для L₁₂ получим выражение в соответствии с формулой (128.3). Таким образом, взаимная индуктивность двух катушек, намотанных на общий тороидальный сердечник,

§ 129. ТРАНСФОРМАТОРЫ

Принцип действия трансформаторов, применяемых для повышения или понижения напряжения переменного тока, основан на явлении взаимной индукции. Впервые трансформаторы были сконструированы и введены в практику русским электротехником П. Н. Яблочковым (1847—1894) и русским физиком И. Ф. Усагиным (1855—1919). Принципиальная схема трансформатора показана на рис. 186.

Рис. 186

Первичная и вторичная катушки (обмотки), имеющие соответственно N₁ и N₂ витков, укреплены на замкнутом железном сердечнике. Так как концы первичной обмотки присоединены к источнику переменного напряжения с э.д.с. ℰ₁ то в ней возникает переменный ток создающий в сердечнике трансформатора переменный магнитный поток Ф, который практически полностью локализован в железном сердечнике и, следовательно, почти целиком пронизывает витки вторичной обмотки. Изменение этого потока вызывает во вторичной обмотке появление э.д.с. взаимной индукции, а в первичной — э.д.с. самоиндукции. Ток I₁ первичной обмотки определяется согласно закону Ома:

где R₁ — сопротивление первичной обмотки. Падение напряжения I₁R₁ на сопротивлении R₁ при быстропеременных полях малo по сравнению с каждой из двух э.д,с., поэтому

(129.1)

Э.д.с. взаимной индукции, возникающая во вторичной обмотке,

(129.2)

Сравнивая выражения (129.1) и (129.2), получим, что э.д.с., возникающая во вторичной обмотке,

(129.3)

где знак минус показывает, что э.д.с. в первичной и вторичной обмотках противоположны по фазе.

Отношение числа витков N₂/N₁, показывающее, во сколько раз э.д.с. во вторичной обмотке трансформатора больше (или меньше), чем в первичной, называется коэффициентом трансформации.

Пренебрегая потерями энергии, которые в современных трансформаторах не превышают 2% и связаны в основном с выделением в обмотках джоулевой теплоты и появлением вихревых токов, и применяя закон сохранения энергии, можем записать, что мощности тока в обеих обмотках трансформатора практически одинаковы: