Курс физики (стр. 76 из 157)

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы задается в виде

(146.1)

где s — колеблющаяся величина, описывающая тот или иной физический процесс, δ = const — коэффициент затухания, ω₀ — циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы, т. е. при δ = 0 (при отсутствии потерь энергии) называется собственной частотой колебательной системы. Решение уравнения (146.1) рассмотрим в виде

(1462)

где u = u(t). После нахождения первой и второй производных выражения

(146.2) и подстановки их в (146.1) получим

(146.3)

Решение уравнения (146.3) зависит от знака коэффициента перед искомой вели чиной. Рассмотрим случай, когда этот коэффициент положителен:

(146.4)

(если (ω² - δ²) > 0, то такое обозначение мы вправе сделать). Тогда получим уравнение типа (142.1) u&&+ω²u = 0, решением которого является функция u = A₀cjs(ωt + ϕ) (см. (140.1)). Таким образом, решение уравнения (146.1) в случае малых затуханий (δ² ≪ ω²₀)

(146.5)

где

(146.6)

— амплитуда затухающих колебаний, а A₀ — начальная амплитуда. Зависимость (146.5) показана на рис. 208 сплошной линией, а зависимость (146.6) — штриховыми линиями. Промежуток времени τ = 1/δ, в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации.

Рис. 208

Затухание нарушает периодичность колебаний, поэтому затухающие колебания не являются периодическими и» строго говоря, к ним неприменимо понятие периода или частоты. Однако если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода как промежутка времени между двумя последующими максимумами (или минимумами) колеблющейся физической величины (рис. 208). Тогда период затухающих колебаний с учетом формулы (146.4) равен

Если А(T) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебании, соответствующих моментам времени, отличающимся на период, то отношение

называется декрементом затухания, а его логарифм

(146.7)

— логарифмическим декрементом затухания; N_e — число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в е раз. Логарифмический декремент затухания — постоянная для данной колебательной системы величина.

Для характеристики колебательной системы пользуются понятием добротности Q, которая при малых значениях логарифмического декремента равна

(146.8)

(так как затухание мало (δ² ≪ ω²₀), то T принято равным Т₀).

Из формулы (146.8) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний N_e, совершаемых системой за время релаксации.

Выводы, полученные для свободных затухающих колебаний линейных систем, применимы для колебаний различной физической природы — механических (в качестве примера рассмотрим пружинный маятник) и электромагнитных (в качестве примера рассмотрим электрический колебательный контур).

1. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. Для пружинного маятника (см. § 142) массой т, совершающего малые колебания под действием упругой силы F= - kx, сила трения пропорциональна скорости, т.е.

где r — коэффициент сопротивления; знак минус указывает на противоположные направления силы трения и скорости.

При данных условиях закон движения маятника будет иметь вид

(146.9)

Используя формулу ω= k m (см. (142.2)) и принимая, что коэффициент затухания

(146.10)

получим идентичное уравнению (146.1) дифференциальное уравнение затухающих колебаний маятника:

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания маятника подчиняются закону

где частота ω=

Добротность пружинного маятника, согласно (146.8) и (146.10),

Q = km r .

2. Свободные затухающие колебания в электрическом колебательном контуре. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний заряда в контуре (при R ≠ 0) имеет вид (см. (143.2))

Учитывая выражение (143.4) и принимая коэффициент затухания

(146.11)

дифференциальное уравнение (143.2) можно записать в идентичном уравнению

(146.1) виде

Из выражений (146.1) и (146.5) вытекает, что колебания заряда совершаются по закону

с частотой, согласно (146.4),

(146.12) (146.13)

меньшей собственной частоты контура ω₀(см. (143.4)). При R = 0 формула (146.13) переходит в (143.4).

Логарифмический декремент затухания определяется формулой (146.7), а добротность колебательного контура (см. (146.8))

(146.14)

В заключение отметим, что при увеличении коэффициента затухания δ период затухающих колебаний растет и при δ = ω₀ обращается в бесконечность, т. е. движение перестает быть периодическим. В данном случае колеблющаяся величина асимптотически приближается к нулю, когда t → ∞. Процесс не будет колебательным. Он называется апериодическим.

Огромный интерес для техники представляет возможность поддерживать колебания незатухающими. Для этого необходимо восполнять потери энергии реальной колебательной системы. Особенно важны и широко применимы так называемые автоколебания — незатухающие колебания, поддерживаемые в диссипативной системе за счет постоянного внешнего источника энергии, причем свойства этих колебаний определяются самой системой.

Автоколебания принципиально отличаются от свободных незатухающих колебаний, происходящих без действия сил, а также от вынужденных колебаний (см. § 147), происходящих под действием периодической силы. Автоколебательная система сама управляет внешними воздействиями, обеспечивая согласованность поступления энергии определенными порциями в нужный момент времени (в такт с ее колебаниями).

Примером автоколебательной системы могут служить часы. Храповой механизм подталкивает маятник в такт с его колебаниями. Энергия, передаваемая при этом маятнику, берется либо за счет раскручивающейся пружины, либо за счет опускающегося груза. Колебания воздуха в духовых инструментах и органных трубах также возникают вследствие автоколебаний, поддерживаемых воздушной струей.

Автоколебательными системами являются также двигатели внутреннего сгорания, паровые турбины, ламповый генератор и т. д.

• Что такое коэффициент затухания? декремент затухания? логарифмический декремент затухания?

• В чем заключается физический смысл этих величин?

• При каких условиях наблюдается апериодическое движение?

• Что такое автоколебания? В чем их отличие от вынужденных и свободных незатухающих колебаний? Где они применяются?

§ 147. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ (МЕХАНИЧЕСКИХ И ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ) И ЕГО РЕШЕНИЕ

Чтобы в реальной колебательной системе получить незатухающие колебания, надо компенсировать потери энергии. Такая компенсация возможна с помощью какого-либо периодически действующего фактора X(t), изменяющего по гармоническому закону:

Если рассматривать механические колебания, то роль X(t) играет внешняя вынуждающая сила

F=F₀cos ωt. (147.1)

С учетом (147.1) закон движения для пружинного маятника (146.9) запишется в виде

mхɻ = - kx – rx + F₀cos ωt.

Используя (142.2) и (146.10), придем к уравнению

(147.2)

Если рассматривать электрический колебательный контур, то роль X(t) играет подводимая к контуру внешняя периодически изменяющаяся по гармоническому закону э.д.с. или переменное напряжение

(147.3)