Расчёт волновой функции в квантовой яме сложной формы (стр. 1 из 2)

Ł Łæ æ Æ Ł — ææŁØæŒ Ø ŁŁ

Œ -ˇ Æ ªæŒŁØ ª æ æ ßØ ºŁ ı Ł æŒŁØ Ł æŁ

— æ … -ª Ł æŒ Æ

˛ º Œ ŁŒ Ł Œ ß ŁÆ ß¿

: ˚ ŁŒ ˚ æ Ł ˚ æ Ł Ł

ˆ : 3093/2 Œ º : — Ł Ł Ł æŒŁØ

ˇ º :

˚ Ł ŁØ ¨ª Ł

Œ -ˇ Æ ª

2010

˛ªº º Ł

1 ı Ł æŒ 1

2 ºŁ 1

3 — æ 4

4 ¸Ł 12

1 ı Ł æŒ

• ˝ Ø Ł ªŁŁ Ł º ß Œ ŁŁ ª Ł ª æ Ł ßı æ æ ŁØ º Œ Ł º Ø æº ø ª Ł :

, Ł

, Ł

, Ł

˙ æ

.

• ˇ æ Ł ª ŁŒŁ º ßı Œ ŁØ Łı æ æ ŁØ. ´ß ŁæºŁ æ Ł Æ Ł º Œ Œ Ł æ Œ ß º Œ ßı æ æ -

ŁØ.

—Łæ. 1: ˇ Ł º º

2 ºŁ

˚ Œ Ł æ	Ł æº	æ ŁØ ¸ ª	Ø	ı ŁŒŁ [2],	Ł	ŁŒ º Æ Ø	ı Ł-
æŒ Ø æŁæ ß		ı Œ Ł		Œ Ł Ø ˆ Łº		. º ª	Ø
Œ ŁŁ Œ	Ø	ŁŁ æº Ł		Hˆ(ˆ Łº	Ł	) [3]. ˇ Ł	æ -
æ Ł Ł Ł	æŒ Ø æŁæ	ß Œ	Ø	ı ŁŒ Łæß		º	Œ Ł
Ψ(r,t) [3], Œ [4]:	æ		º	æ º ß		Ł	… Ł ª -

(1)

ˆ Łº Ł ß æ æ Ø ŒŁ Ł æŒ Ø Ł Ł º Ø

ªŁØ º Œ Ł º º [3]:

Hˆ = Tˆ + Uˆ

— ºŁ ß , æ º łŁæ :

(2)

ˇ æŒ º Œ	º	æ		Ł	(2)	ŁæŁ	º Œ	t,		º Œ
r, Æ Ł º	ß		æ	Ø Ł	Ø	Œ æ		º	Ł :

´ æ	º Ø		Æ æ	ºŁ	ı	Œ	Łæ ŁŒŁ æŁæ	ß	æ	Ł -
ßı æ æ	Ł ı,		Œ Ł	æŒŁØ Ł	æ	æ	º ºŁł	ł	Ł	-
ª Œ ŁŁ.	Ł Ł	Ø æŁæ	ß, æ	ø ª	æ		º Ł ºŁ	ß	º	Ø

… ª , Ł º º (

(3)

ŒŁ	Æ	,	ł	Ł æ	º æ Œ Ł	æ	Ø	Ł ŁŒ [1]	æ Ææ	-
ß	Ł (			æº	:			¸Ł Łºº ).

(4)

´ Œ Ø ı ŁŒ º Œ Ł Ł Ł Ł æŒŁı æ Æ ŁØ -

Œº ß º Ł º ß æº Ł [4]:

• æº Ł Ł ŒŁ

(5)

˝ æ æ ß Ł ª Ł Ł ºŁ Ł Œ ŁŁ ϕ(t):

ˇ æ Ł ª Ł Ł ßÆ ŒŁ Æ , Æß Œ Ł

Ψ(x,t) Æߺ Ł .

(6)

•	æº Ł	ª º æ Ł
	1. ´ º	Œ Ł		Ł Ł	Æ æŒ	ßı	ŁØ,	ŒŁı,
	Ł ª	º (6) æ	æı	øŁ æ .

2. ´ º Œ Ł º Æß Ø Œ Ł Ø Œ Ł Ł				-
Ł, Œ Œ Œ º æ æ Ł Æ Ł æ Ł ß º º æ .				-
3. ´ º Æ Ø Ł º Œ Ł Ł … æ ß Ł				ß
º ß Æß ß ß Ł Œ Ł Ł æ æ ßı Œ Ł				.
´ æ º Ø Ł º º (Œ ) ºŁ Ł æŒŁ æß æ Œ Ł Ø U(x), Ł ø Ø æŁ Ł æŁ º ß −x x:				Ł-
		U(−x) = U(x)
ˇ Ł ºŁ ŁŁ Ł æŁŁ æ Ææ		ß Œ ŁŁ ˆ Łº ºŁÆ		-
Ł æŒŁ Ł	º…	… æ , ºŁÆ ª Æß Æ	ß	Œ-
ŁŁ, Ł øŁ —	º… …	æ [3].
1. — ł Ł	Ł æ Ł æ Œ	ł Ł Ł ¸Ł	Łºº .
2. — ł Ł	º æ æ Ææ	ß Œ ŁŁ f(x) Ł æ Ææ	ß Ł	E
( ªŁŁ)	ˆ Łº	Hˆ.
3. ˛	ß ª Ł ß æº	Ł Ł ¸Ł Łºº	º æ Ł
ß	Ł º .
4. Ææ	ß Œ ŁŁ f(x)	ƺ º… Ø … æ	ŁºŁ Ł
æ Ł	æ æ Ł .
5. — ł		º Ł Ł º , æ ł	Ł æ ł -
æ æ	æ ø æŁ	ŁŁ.
6. ˝ Œ ŁŁ f(x) Œº ß		æ æº Ł ª º æ Ł Ł	ß æ Ł º -
Æ æ Ł æ æ Ł .

3 — æ …

• ˇ ºŁ Ł Ł Œ ŁŁ f(x) Œ ı æŁ ª º æ Ł

:

— ł Ł Ł y = e^kx : k²e^kx − æ²2e^kx = 0 ⇒ k² − æ² = 0 ⇒ k = ±æ

y = C1eæx + C2e−æx

¨ æº Ł ª º æ Ł y : C₁ → 0 ⇒ y = C₂e^−æx

.Œ. U(x) → ∞ ⇒ æ → ∞ ⇒ y → 0

(7)

• — ææ Ł ł Ł Ł Ł :

(8)

• — ææ Ł ł Ł Ł Ł :

y⁰⁰ − α²y = 0 (9)

— ł Ł Ł y = e^kx : k²e^kx − α²2e^kx = 0 ⇒ k² − α² = 0 ⇒ k = ±α

y = C1eαx + C2e−αx

• Ł (4) º æ Œ

:

ˇ º Ł Ł (9), Æø ł Ł : y₁ = Ash(κx) + B ch(κx)

¯æºŁ f(x) … :

(0) = 0;æºŁ f(x) … : y₁(0) = 0

f(x) … :

y₁⁰ = Aκch(κx) + Bκsh(κx) y₁⁰ (0) = Aκ = 0

.Œ. κ 6= 0 → A = 0

y₁ = B ch(κx) (10)