Анализ классической электродинамики и теории относительности (стр. 53 из 54)

Рис. 15.8

Потенциал падающей волны u_пe^ikx, а выходящей волны u_вe^-ikx . При малых расстояниях и размерах амплитуды этих постоянны, но имеют комплексную форму. На поверхности S (при х = Х) будем иметь следующие выражения для потенциала на поверхности и его производной:

U ( X ) = u _п ( X )e ^ikX + u _в ( X )e ^{− ikX} (15.9.1)

∂u^{ikX −ikX}

= ikV(X) == ik[u_пe −u_вe ] (15.9.2)

∂n x=Xx=X

Комбинируя (15.9.1) и (15.9.2) можно найти амплитуды падающей и выходящей волн.

U(X)+V(X) ^-ikX U(X) −V(X) ^ikX

u_п =

e u_в = e (15.9.3)

2 2

Таким образом, задача решена, т.е. найдены комплексные амплитуды падающей и выходящей волн.

Косое падение волны. Тот же подход возможен при подходе волны под углом π - ϕ к поверхности y = 0.

Пусть волна описывается потенциалом

u(x; y) =Ueik (x cos ϕ+y sin ϕ)

На поверхности y = 0 потенциал будет равен u(x;0) =Ue^{ikx cos ϕ} =Ue^iψ , (15.9.4) где ψ(х) можно рассматривать как фазу волны в точке х.

Нормальная производная при y = 0 равна (нормаль совпадает по направлению с осью у)

∂u ∂u ^iψ

= = ikU sinϕe (15.9.5)

∂n ∂y

Нам необходимо, пользуясь этими значениями, записать волны, переносящие энергию. Но необходимо записать их так, чтобы эти волны удовлетворяли специфическому волновому уравнению в окрестности бесконечно малой площадки поверхности.

∂ 2u 2

2 + k u = 0

∂n

Иными словами, это волны, идущие колинеарно нормали. С этой точки зрения выражения (15.9.4) и (15.9.5) мы формально можем представить в виде суммы двух волн с волновым вектором k, идущих нормально к поверхности, но в противоположных направлениях.

^iψ(x) ∂u ^{iψ( x)}

u(x;0) =Ue = u_п + u_в = ikU sinϕe = ik(u_п −u_в)

∂n н=0

Отсюда можно найти u_п =

U(1+ sinϕ)e^iψ(x)u_в = U(1−sinϕ)e^{iψ( x)}

Такова, на наш взгляд, интерпретация этой задачи.

Сферическая поверхность. Задача определения потенциала внутри сферы, ограничивающей некоторый объем, по заданной величине потенциала и его нормальной производной на поверхности решается аналогично.

Пусть имеется сферическая поверхность, на которой задан потенциал и его нормальная производная. Пусть потенциал внутри сферы, включая ее границы (поверхность) описывается уравнением Гельмгольца Δu = 0. Источники, создающие потенциал, находятся вне этой сферы. Необходимо определить потенциал внутри сферы.

Это обычная (классическая) задача, с которой сталкиваются в теории дифракции, теории антенн и т.д. Ее решение сводится к решению предыдущей задачи.

Потенциал на поверхности сферы радиуса R определяется суммой волн, которые распространяются как внутрь сферы, так и из этой сферы. Можно сказать, что потенциал на поверхности и вблизи нее в каждом бесконечно малом элементе поверхности складывается из потенциала уходящей из сферы волны и потенциала входящей в сферу волны

U(R,θ;ϕ) = u_п(θ;ϕ) e^ikR+ u_в(θ;ϕ) e^-ikR, (15.9.4)

где θ;ϕ – координаты поверхности сферы радиуса R. Амплитуды u_п(θ;ϕ) и u_в(θ;ϕ) являются, вообще говоря, комплексными.

Будем считать, что потенциал и его нормальная производная непрерывны вблизи поверхности сферы и имеют следующий вид на сколь угодно малом расстоянии от нее

U(r,θ;ϕ) = u_п(θ;ϕ) e^ikr+ u_в(θ;ϕ) e^-ikr, R + ε > r > R - ε; где ε - сколь угодно малая величина.

Нормальная производная на поверхности R = const также будет складываться из производных по нормали от потенциалов этих волн, как и в предыдущем случае

∂u

= ikV(θ;ϕ) = =

∂n_r=R (15.9.5)

= ik[u_п(θ;ϕ)e^ikR + u_в(θ;ϕ)e^−ikR ]

Комбинируя выражения (15.9.4) и (15.9.5), можно определить амплитуды u_п(s) и u_в(s) на поверхности сферы.

U(θ;ϕ) +V(θ;ϕ) ^=ikR u_п(θ;ϕ) =

e (15.9.6)

2

U(θ;ϕ) −V(θ;ϕ) ^ikR u_в(θ;ϕ) =

e (15.9.7) 2

Теперь, зная амплитуды падающей и выходящей волн, можно определить потенциалы внутри сферы. Для этого запишем выражения для каждой из этих волн в виде ряда. u_п = ∑∑a_mnH _n⁽¹₊⁾_{1/ 2} (kr)Y_mn (θ;ϕ) (15.9.8)

n m

u_в = ∑∑b_mnH _n⁽²₊₁⁾ _{/ 2} (kr)Y_mn (θ;ϕ) (15.9.9)

n m где a_mn и b_mn – неизвестные коэффициенты, H(kr) – функции Ганкеля первого и второго рода, Y_nm – шаровые (сферические) функции.

Приравняем выражения (15.9.6) и (15.9.8), а также (15.9.7) и (15.9.9) попарно при r = R. Теперь, раскладывая выражения (15.9.6) и (15.9.7) в ряд по шаровым функциям, можно определить неизвестные коэффициенты a_mn и b_mn.

Здесь следует обратить внимание на тот факт, что выражения (15.9.8) и (15.9.9) имеют особенность в начале координат («скрытые» источники). Об этом мы писали. В решении, которое определяется суммой выражений (15.9.8) и (15.9.9), таких источников не будет. Покажем это.

Пусть потенциал внутри сферы определяется суммой выражений (15.9.8) и (15.9.9).

1 (2) u(r;θ;ϕ) = ∑∑n m amn kr Hn+1/ 2 (kr)Ymn (θ;ϕ) +

(15.9.10)

1 (1)

+ ∑∑n m bmn kr Hn+1/ 2 (kr)Ymn (θ;ϕ)

Сделаем замену переменных в этом выражении: r → - r; θ → π - θ; ϕ → π + ϕ . Как следует из [1], мы используем тождественное преобразование, когда каждая точка возвращается на свое место (не меняет своего положения). Выражение (15.9.10) примет вид

u(r;θ;ϕ) = H n(2+1) / 2 (−kr)Ymn (π−θ;ϕ+ π) +

+ ∑∑b_mn (−kr)Y_mn (π−θ;ϕ+ π) = (15.9.11)

n m

= ∑∑a_mnmn (θ;ϕ) + ∑∑bmnH n(2+1) / 2 (kr)Ymn (θ;ϕ)

n mn m

Сравнивая (15.9.10) и (15.9.11), можно заметить, что оба выражения совпадут, если коэффициенты a_mn и b_mn будут тождественно равны друг другу. В этом случае мы получаем окончательное выражение для потенциала внутри сферы и на ее поверхности u(r;θ;ϕ) = 2∑∑a_mnJ _{n+1/ 2} (kr)Y_mn (θ;ϕ)