Туннельный эффект холодная эмиссия электронов и контактная разность потенциалов (стр. 2 из 4)
Остается лишь посмотреть, не может ли все же оказаться так, что путем измерения положения частицы мы обнаружим ее внутри потенциального барьера, в то время как ее полная энергия меньше высоты барьера.
Обнаружить частицу внутри барьера действительно можно, даже если E<V; однако если фиксируется координата частицы х, при этом создается, согласно соотношению неопределенности, дополнительная дисперсия в импульсе
так что уже нельзя утверждать, что энергия частицы, после того как определили ее положение, равна Е.Из формулы для коэффициента прозрачности следует, что частицы проникают заметным образом лишь на глубину. Чтобы обнаружить частицу внутри барьера, мы должны фиксировать ее координату с точностью ∆x < l. Но тогда неизбежно возникает дисперсия импульса:
Подставляя сюда l2, находим
(2.1)
т. е. изменение кинетической энергии частицы, вносимое вмешательством измерения, должно быть больше той энергии, которой ей недостает до высоты барьера V0. Приведем еще пример, иллюстрирующий это утверждение. Определить координату частицы, находящейся внутри потенциального барьера таким путем, что будем посылать - узкий пучок света в направлении, перпендикулярном к направлению движения частицы. Если пучок рассеется, то значит, на его пути попалась частица.
Как объяснялось выше, точность нашего измерения должна быть такова ∆X<l; с другой стороны, нельзя создать пучок света, ширина которого была бы меньше длины световой волны λ, а, следовательно, длина волны света должна быть меньше l, т. е.
(2.2)так как
, где ω - частота световых колебаний, а с - скорость света, то отсюда следует, что
Встречающиеся в нерелятивистской механике энергии должны быть меньше собственной, энергии частицы mс2, поэтому
(2.3)т. е. энергия применяемых в световом пучке квантов света должна быть больше, нежели разность между высотой потенциального барьера и энергией частицы. Таким образом, этот пример иллюстрирует положение о необходимости применить для измерения координаты приборы, обладающие достаточно большой энергией, чтобы можно было локализовать частицу.
§ 3. Вырывание электронов из металла. Холодная эмиссия
Теория туннельного эффекта имеет ряд весьма важных приложений в теории металлов и в ядерной физике. С помощью этой теории удалось понять ряд явлений, которые не нашли своего объяснения в классической физике. К числу этих явлений следует в первую очередь отнести холодную эмиссию, т. е. вырывание электронов из металла под действием электрического поля, а также возникновение контактной разности потенциалов. Однако прежде всего скажем несколько слов о теории «электронного газа», лежащей в основе электронной теории проводимости металлов.
Высокая электропроводность металлов говорит о том, что электроны способны сравнительно свободно перемещаться внутри всей кристаллической решетки металла. Затруднен лишь их выход из металла в вакуум, требующий затраты некоторой энергии, так называемой работы выхода. Это наводит на мысль рассматривать простейшую модель металла как свободный электронный газ, движущийся в потенциальной яме, внутри которой (т. е. в металле) потенциальная энергия равна нулю V=0, а вне, т. е. в вакууме, V=Vо>0.
Подобная упрощенная модель позволяет уяснить многие явления в металлах и поэтому в некоторых пределах является вполне разумной. Она была введена еще в классической теории (теория Друде, Лоренца и т. д.). В этом случае к электронам применялась классическая статистика Максвелла—Больцмана, которая до этого с успехом объяснила многие явления кинетической теории газов.
Однако в классической теории модель «электронного газа» встретила большие затруднения при построении теории теплоемкости. В самом деле, согласно известной теореме классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы на одну степень свободы в среднем должна приходиться энергия:
(3.1)Отсюда видно, что доля каждого свободного электрона в общей теплоемкости такая же, как и свободного атома
Это противоречит экспериментальным фактам, согласно которым теплоемкость одноатомного металла определяется лишь теплоемкостью атомов решетки, т. е. свободные электроны в первом приближении никакого вклада в теплоемкость металла не вносят.
Это противоречие было разрешено Зоммерфельдом, который показал, что к электронам в металле необходимо применять не классическую статистику с функцией распределения
а квантовую статистику Ферми – Дирака с функцией распределения
В основе квантовой статистики Ферми—Дирака лежит принцип Паули, согласно которому на каждом энергетическом уровне может находиться максимум два электрона (два квантовых состояния, отличающихся направлениями спинов).
Если нам задана трехмерная потенциальная яма кубической формы с длиной стороны, равной L, то составляющие импульса p =ђk будут связаны с целыми числами n1, n2, nз, характеризующими энергетический уровень, соотношениями:
Учтем, что на единичный интервал квантовых чисел:
(3.2)приходится лишь один уровень, на котором могут находиться два электрона.
Поэтому если в единице объема находится ρо электронов, то максимальный импульс, которым может обладать электрон при абсолютном нуле температуры (T=0), определяется из соотношения
(3.3)Или
(3.4)Соответствующая максимальная кинетическая энергия электронов равна:
(3.5)Эта максимальная энергия при T= 0 соответствует уровню Ферми. Оценим значение этой энергии, например, для серебра. Плотность серебра равна 10,5, атомный вес 107,9. Считая, что число свободных электронов равно числу атомов серебра в единице объема, имеем:
Здесь мы использовали число Авогадро, т. е. число атомов в одном грамм-атоме, равное 6,02·1023. Отсюда по формуле (3.5) находим, что
Поскольку для серебра работа выхода W=3,7 эВ, то глубина потенциальной ямы в серебре оказывается равной 9,8 эВ. Схема заполнения электронных уровней в металле изображена на рис 3.1.
рис 3.1 Модель потенциальной ямы для металла. (Е макс. – верхняя граница заполненных уровней при Т=0 (энергия Ферми).
Средняя энергия в металле будет определяться выражением
(3.6)Отсюда видно, что при сравнительно низких температурах электронный газ никакого вклада в теплоемкость не должен вносить, так как
Исходя из этой модели (рис 3.1), мы видим, что для вырывания электрона из металла необходимо сообщить ему энергию не меньшую, чем работа выхода
(3.7)Как известно, в случае внешнего фотоэффекта электрон получает от поглощенного фотона энергию ђω. При этом электрон может покинуть металл, обладая кинетической энергией.
(3.8)(уравнение Эйнштейна). Отсюда следует, что работа выхода есть минимальная энергия, которую нужно затратить, чтобы энергия электрона стала больше высоты потенциального барьера.
