Моделирование процессов переработки пластмасс (стр. 4 из 5)
Гипотетическое тело, поглощающее все падающие на него лучи, называется абсолютно черным телом. Интенсивность лучеиспускания абсолютно черного тела Еb определяется законом Стефана — Больцмана:
(2.43)Где а — постоянная Стефана Больцмана, равная 1,36 • 10 -12 кал/(см2 • с • /K4), или
Реальные тела излучают меньше энергии. Их излучательная способность е оценивается по формуле:
(2.44)где Е — интенсивность лучеиспускания реального тела.
Обычно ε зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Металлоиды и окислы металлов обладают высокой излучательной способностью (ε ≥ 0,8). У хорошо отполированных металлов излучательная способность невысока (ε≤ 0,1) Реальные тела поглощаюттолько часть попадающего на них излучения.
Коэффициент поглощения определяется как отношение поглощенного из лучения к падающему.
При расчете лучистого теплообмена между черными телами под излучение попадает только та часть тела, которая просматривается с излучающего тела. Далее, интенсивность излучаемой энергии максимальна вдоль нормали к поверхности и равна нулю в тангенциальном направлении. Можно учесть взаимное расположение излучателя и облучаемого тела введением коэффициента видимости, учитывающего долю излучаемой энергии, которая попадает на облучаемое тело.
Допустим, что лучистая энергия, излучаемая от черной поверхности 1 на черную поверхность 2, равна E1A1F12(A1 — площадь излучателя, F12 — доля энергии, попадающая на поверхность 2). Очевидно, что
A1F12 = A2F21 (2.45)
Поэтому количество теплаQ12, переданное при лучистом теплообмене от тела 1 к телу 2, равно:
Q12 = A1F12(E1-E2) (2.46)
Воспользуемся законом Стефана — Больцмана и получим:
(2.47)Наконец, еслиT2/T1 << 1то выражение (2.47) сводится к виду:
(2.48)Для неабсолютно черных тел расчет осложняется наличием доли многократно отраженного излучения. В случае двух бесконечных параллельных пластин общее количество тепла, переданного с единицы поверхности, выражается формулой:
(2.49)гдеFε— коэффициент излучения, равный:
(2.50)Коэффициент теплопередачи h определится из выражения, аналогичного по форме уравнению Ньютона:
(2.51)
Реальные полимеры и их расплавы плохо пропускают инфракрасное излучение. Поэтому падающая на них энергия превращается в тепло непосредственно на их поверхности. Некоторое количество выделяющегося тепла сразу же теряется на потери в виде собственного излучения и путем конвекции.
Поглощаемое тепло распространяется внутрь за счет процессов теплопроводности. Поэтому итоговое распределение температур в теле, нагреваемом лучистой энергией, зависит не только от мощности потока лучистой энергии, но также и от теплопроводности и конвективных потерь.
3. СОСТАВЛЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ИССЛЕДУЕМОГО ПРОЦЕССА.
3.1. Специфика построения математических моделей описывающих термодинамические процессы
Разработанные методы анализа термодинамики процессов переработки полимеров позволяют устанавливать связь между основными технологическими параметрами (давление, плотность, температура) с достаточно высокой степенью точности. В настоящее время разработан весьма надежный математический аппарат, позволивший обобщить огромный экспериментальный материал.
Математические модели процессов теплопередачи базируются на математическом аппарате, разработанном в классических исследованиях теплопроводности в твердых телах. Общим недостатком известных решений является допущение о независимости теплофизических характеристик от температуры. Хорошо известно, что все термодинамические функции и теплофизические характеристики полимеров существенно зависят от температуры и давления. Поэтому при построении моделей реальных процессов следует обращать особое внимание на правильный выбор средних значений соответствующих характеристик.
3.2. Вывод дифференциального уравнения теплопроводности.
Для решения задач связанных с нахождением температурного поля необходимо иметь дифференциальное уравнение теплопроводности. Под дифференциальным уравнением понимают математическую зависимость между физическими величинами характеризующими изучаемое явление, причем эти физические величины являются функциями пространства и времени. Такое уравнение характеризует протекание физического явления в любой точке тела в любой момент времени.
Дифференциальное уравнение теплопроводности дает зависимость между температурой, временем и координатами элементарного объема.
Вывод дифференциального уравнения сделаем упрощенным методом. Предположим, что имеется одномерное температурное поле (тепло распространяется в одном направлении, например в направлении оси х ). Термические коэффициенты считаем не зависимыми от координат и времени.
Выделим в однородной и изотропной неограниченной пластине элементарный параллелепипед, объем которого равен
(рис. 3.1) Количество тепла, втекающего через левую грань 
в параллелепипед в единицу времени, равно 
а количество тепла, вытекающего через противоположную грань в единицувремени, равно
Рис 1.3. Поток тепла через элементарный объём
Если
, то элементарный параллелепипед будет нагреваться, тогда разница между этими потоками тепла по закону сохранения энергии равна теплу, аккумулированному данным элементарным параллелепипедом, т. е. 
(3.1)Величина
есть неизвестная функция х. Если ее разложить в ряд Тейлора и ограничиться двумя первыми членами ряда, то можно написать: 
(3.2)Тогда из равенства (3.1) будем иметь:
(3.3)Применяя уравнение теплопроводности
, получим: 
(3.4)Уравнение (3.5) есть дифференциальное уравнение теплопроводности для одномерного потока тепла. Если тепло распространяется по нормали к изотермическим поверхностям, то вектор qможно разложить на три составляющие по координатным осям. Количество аккумулированного элементарным объемом тепла будет равно сумме
(3.5)Тогда дифференциальное уравнение примет вид
(3.6)Для симметричного одномерного температурного поля
является функцией одной координаты. Поясним это на примере бесконечного круглого цилиндра. Если ось такого цилиндра совпадает с координатой z, то температура в любой точке цилиндра будет зависеть только от координат х и у. При равномерном охлаждении или нагревании цилиндра в любой точке, отстоящей на расстоянии rот оси цилиндра, температура вданный момент времени будет одна и та же. Следовательно, изотермические поверхности будут представлять собой цилиндрические поверхности, коаксиально расположенные к поверхности цилиндра. Между радиальной координатой r (радиус-вектор) и координатами х и у существует связьr2 = х2 + у2.(3.7)
Тогда дифференциальное уравнение теплопроводности для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:
(3.8)для бесконечного цилиндра можно преобразовать так:
(3.9) 
(3.10)Дифференцируя (3.8) по х, а(3.10) по у, получаем
(3.11) 
(3.12)Складывая уравнения (3.11) и (3.12) и принимая во внимание (3.7), получим для уравнения теплопроводности следующее выражение: