Теория симметрии молекул (стр. 11 из 13)

В такой записи наглядно видно циклическое строение группы. Поэтому сразу находим все три класса сопряженных элементов группы S₃:

K₁={(1)}; K₂={(1 2 3), (1 3 2)}; K₃={(2 3), (1 2), (1 3)}.

Групповая алгебра CS₃ группы S₃ состоит из элементов

a=a₁e+a₂a+a₃a²+a₄b+a₅c+a₆d, (23)

где a_iÎC; e, a, a², b, c, d – шесть перестановок, образующих группу S₃. Учитывая обозначения перестановок, запишем элементы групповой алгебры, являющиеся суммами элементов классов:

C₁=e₁; C₂=a+a²; C₃=b+c+d.

При построении таблицы Кэли группы S₃ воспользуемся таблицей группового умножения группы C_3V и запишем

=е; =а; =a²; =b; =c; =d.

Тогда таблица примет следующий вид.

Таблица 3

Квадрат Кэли группы S₃

S3	e	a	a2	b	c	d
e	e	a	a2	b	c	d
a	a	a2	e	d	b	c
a2	a2	e	a	c	d	b
b	b	c	d	e	a2	e
c	c	d	b	a	e	a2
d	d	b	c	a2	a	e

Таблица Кэли группы S₃ определяет групповую алгебру CS₃, в частности, позволяет умножать элементы a из выражения (23).

Переходя к составлению таблицы умножения базисных элементов центра Z групповой алгебры CS₃, заметим, что элемент C₁ является ее единицей, так что

, i=1, 2, 3.

Найдем элемент

:

=(а+а²)(а+а²)=а²+а³+а⁴=а²+2е+а=2е+а+а²=2С₁+С₂.

Далее находим

:

=(b+c+d)(b+c+d)=b²+c²+d²+bc+bd+cb+cd+db+dc=3e+3a+3a²=3C₁+3C₂.

При этом мы воспользовались табл. 3. Заметим, что в силу принадлежности C_i центру алгебры

, так что таблица будет симметричной относительно главной диагонали. Поэтому нам осталось найти C₂C₃:

C₂C₃=(a+a²)(b+c+d)=ab+a²b+ac+a²c+ad+a²d=d+c+b+d+c+b=2C₃.

Используя полученные результаты, запишем таблицу умножения базисных элементов центра групповой алгебры группы S₃ (см. табл. 4).

Таблица 4

Таблица умножения базисных элементов центра алгебры CS₃.

Z	C1	C2	C3
C1	C1	C2	C3
C2	C2	2C1+ C2	2C3
C3	C3	2 C3	3 C1+3C2

Запишем матрицы C(i):

; ; . (24)

Эти матрицы получаются так. Например, действие элемента С(2) на остальные элементы можно представить следующим образом:

;

;

.

Записывая коэффициенты правой части в столбец, получаем С(2).

Мы построили матричное представление базисных элементов центра Z алгебры CS₃, что позволяет получить и матричное представление центра этой алгебры.

Запишем характеристические уравнения для определения собственных чисел и собственных векторов матриц C_i в следующем виде (рассматриваем сначала общий случай d матриц C_i):

. (25)

Возвращаясь к случаю группы S₃ получаем d=3, а коэффициенты

можно найти из табл. 4 на основании выражения (24). При этом сначала зафиксируем индекс j, а индексы i и k будем менять, что позволяет разбить систему (25) на три подсистемы, соответствующие значениям j=1, 2, 3. Выпишем сначала 27 значений C_ijk, разбитых на три группы, по 9 значений в каждой:

С₁₁₁=1; С₁₁₂=0; С₁₁₃=0;

С₂₁₁=0; С₂₁₂=1; С₂₁₃=0;

С₃₁₁=0; С₃₁₂=0; С₃₁₃=1;

С₁₂₁=0; С₁₂₂=1; С₁₂₃=0;

С₂₂₁=2; С₂₂₂=1; С₂₂₃=0; (26)

С₃₂₁=0; С₃₂₂=0; С₃₂₃=2;

С₁₃₁=0; С₁₃₂=0; С₁₃₃=1;

С₂₃₁=0; С₂₃₂=0; С₂₃₃=2;

С₃₃₁=3; С₃₃₂=3; С₃₃₃=0;

Тогда находим следующие системы уравнений:

(27)

Подставляя в найденные системы уравнений (27) значения из выражений (26), получим

(1-х₁) х₁=0; - х₂ х₁+ х₂=0; - х₃ х₁+ х₃=0;

(1-х₁) х₂=0; (I) 2х₁+(1-х₂) х₂=0; (II) - х₂ х₃+2х₃=0; (III) (28)

(1-х₁) х₃=0; (1-х₂) х₃=0; 3х₁+3х₂-x₃²=0.

Обратим внимание на два обстоятельства.

1. Во всех трех системах находятся одни и те же неизвестные, стоящие вторыми сомножителями, т. е. вектор x=(x₁, x₂, x₃) является общим собственным вектором всех матриц С(1), С(2), С(3).

2. Указанные системы можно получить, взяв матрицы (24), транспонировать их, рассмотреть разности C(1)-X₁E, C(2)-X₂E, C(3)-X₃E и затем умножить полученные матрицы на столбец (x₁, x₂, x₃)^Т (знак Т обозначает транспонирование).

Заметим, что выше уже записаны уравнения для нахождения собственных векторов матриц C(i), однако в этих уравнениях фигурируют собственные значения этих матриц, которые необходимо найти. Для матрицы С(1) получаем трехкратное собственное значение, равное единице, поэтому находим собственные значения матриц С(2) и С(3). Запишем для них вековые уравнения:

; . (29)

Раскрывая определить третьего порядка, получаем

(l²-l-2)(2-l)=0; l₁=l₂=2; l₃=-1; -l³-9l=0; l₁=0; l₂=3; l₃=-3.

4. Находим теперь собственные векторы для рассматриваемых матриц. Для матрицы С(1) – это произвольный вектор x₁⁽¹⁾= (x₁, x₂, x₃). Для собственного значения l=2 матрицы С(2) имеем

,

где x₃ – любое. Сам вектор можно записать в виде x₂⁽²⁾= (x₁, x₂, x₃). Поскольку l=2 – двукратное собственное значение, то матрица С(2) имеет два линейно независимых собственных вектора с собственными значениями, равными 2, например, (1 1 0) и (0 0 1) (фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений).

Для l=-1 в случае той же матрицы находим

x₂^(-1)=(-2x₂, x₂, 0)=(2x₂¢, -x₂¢, 0); x₂¢=-x₂.

Для собственного значения l=0 матрицы С(3) получаем х₃⁽⁰⁾=х₂^(-1), т. е. мы уже нашли общий собственный вектор матриц С(1), С(2), С(3).

Для l=3 в случае матрицы С(3) запишем x₃⁽³⁾= (x₁, x₁, x₁).

Для l=-3 той же матрицы С(3) получим x₃^(-3)= (x₁, x₁, -x₁).

Таким образом, выполнили пункт 4 алгоритма для нахождения характеров неприводимых представлений конечных групп. Чтобы выполнить пункт 5, необходимо найти общие собственные векторы для всех матриц C(i), i=1, 2, 3. Один из них уже найден – это вектор x₃⁽³⁾=(x₁, x₁, x₁) приравнивается вектору x₂⁽²⁾= (x₁, x₁, x₃), откуда следует, что x₃=x₁. Получим второй общий собственный вектор. Соответствующие собственные значения для этого вектора запишем в виде (1, 2, 3).

Приравняем теперь векторы x₃^(-3)= (x₁, x₁, -x₁) и x₂⁽²⁾= (x₁, x₁, x₃). Это дает x₃=-x₁, т. е. третьим общим собственным вектором рассматриваемых матриц будет вектор (x₁, x₁, -x₁). Поскольку матрица С(3) имеет все различные собственные значения, то соответствующие собственные подпространства одномерны. Но так как у матриц С(2) и С(3) должны быть общие собственные векторы, это накладывает ограничения x₃=-x₁ для собственных векторов матриц С(2) вида x₂⁽²⁾, которые образуют двумерное собственное подпространство. Чтобы получить характеры неприводимых представлений, необходимо нормировать полученные общие собственные векторы, учитывая, что порядок группы S₃ равен 6 и что числа элементов в классах сопряженных элементов образуют вектор (1, 2, 3). Умножив скалярно вектор x₃⁽³⁾= (x₁, x₁, x₁) на вектор (1, 2, 3) и разделив на 6, получим