Теория симметрии молекул (стр. 12 из 13)
; x1+2x1+3x1=6,т. е. х1=1.
Таким образом, получаем первый характер х1=(1, 1, 1). Для вектора (x1, x1, -x1), умножая его скалярно на (1, 2, -3) и деля на 6, также получаем x1=1, что дает характер х2=(1, 1, -1). Наконец, для вектора (2х2¢, -х2¢, 0) получаем
, (30)откуда х2¢=1.
Заметим, что скалярный квадрат вектора (2х2¢, -х2¢, 0) равен 4x2¢2+2x2¢2=6x2¢2, так как имеется два элемента в классе сопряженных
элементов K2={(1 2 3), (1 3 2)} – этим и вызвано появление множителя 2 в выражении (30). С другой стороны, этот множитель равен размерности неприводимого представления группы S3, так что x3=(2, -1, 0) есть характер двумерного неприводимого представления группы S3. Полученные результаты удобно записать в виде следующей таблицы.
Таблица 5
Характеры неприводимых представлений группы S3=C3V
| 1 | 2 (1 2 3) | 3 (1 2) | |
| c1 c2 c3 | 1 1 2 | 1 1 -1 | 1 -1 0 |
| l(1) l(2) l(3) | 1 1 1 | 2 2 -1 | 3 -3 0 |
Таблица 5 – это известная таблица характеров неприводимых представлений группы S3 (см. табл. 2), только в нижней части ее указаны собственные значения матриц C(1), C(2), C(3), которые дают общие собственные векторы этих матриц.
Составив табл. 5, одновременно нашли первую и вторую собственную матрицу P и Q. Матрица, стоящая внизу в таблице, - это первая собственная матрица. Вторую собственную матрицу Q можно получить из соотношения PQ=QP=|G|E или найти с использованием общих правых собственных векторов-матриц Ci. Матрица Q имеет вид (рядом указана транспонированная матрица)
; 
.В соответствии с теоремой 1 таблица характеров неприводимых представлений группы S3 находится по формуле
.Здесь m1=1; m2=1; m3=4, поэтому
,где в правой части находится таблица неприводимых характеров группы S3, приведенная в верхней части табл. 5.
2.6 Операторы проектирования
1. Операторы проектирования и идемпотенты кольца
Пусть векторное пространство V равно прямой сумме подпространств W и L:
. По определению прямой суммы это означает, что каждый вектор vÎV однозначно представим в виде v=w+l, wÎW. lÎL.Определение 1. Если
, так что v=w+l, то отображение 
, сопоставляющая каждому вектору vÎV его компоненту (проекцию) wÎW, называется проектором пространства V на пространство W. 
называют также оператором проектирования, или проекционным оператором.Очевидно, если wÎW, то
(w)=w. Отсюда следует, что обладает следующим замечательным свойством 2=Р.Определение 2. Элемент е кольца K называется идемпотентом (т. е. подобным единице), если е2=е.
В кольце целых чисел есть всего два идемпотента: 1 и 0. Иное дело в кольце матриц. Например, матрицы
, 
, 
, 
- идемпотенты. Матрицы операторов проектирования также идемпотенты. Соответствующие им операторы называются идемпотентными операторами.Рассмотрим теперь прямую сумму n подпространств пространства V:
.Тогда аналогично случаю прямой суммы двух подпространств можем получить n операторов проектирования
, 
, …, 
. Они обладают свойством 
= =0 при i¹j.Определение 3. Идемпотенты ei и ej (i¹j) называются ортогональными, если eiej= ejei=0. Следовательно,
и - ортогональные идемпотенты.Из того, что IV=V, и из правила сложения линейных операторов следует, что
.Это разложение называется разложением единицы в сумму идемпотентов.
Определение 4. Идемпотент е называется минимальным, если его нельзя представить в виде суммы идемпотентов, отличных от е и 0.
2. Каноническое разложение представления
Определение 5. Каноническим разложением представления Т(g) называется его разложение вида Т(g)=n1T1(g)+ n2T2(g)+…+ ntTt(g), в котором эквивалентные неприводимые представления Тi(g) объединены вместе, причем ni – кратность вхождения неприводимого представления Ti(g) в разложение T(g).
Теорема 1. Каноническое разложение представления определяется с помощью проекционного оператора вида
, i=1, 2, …, t, (31)где |G| - порядок группы G; mi – степени представлений Ti(g), где i=1, 2, …, t; ci(g), i=1, 2, …, t – характеры неприводимых представлений Ti(g). При этом mi определяется по формуле
. (32)3. Проекционные операторы, связанные с матрицами неприводимых представлений групп
С помощью формул (31) можно получить только каноническое разложение представления. В общем случае, надо воспользоваться матрицами неприводимых представлений, которые позволяют построить соответствующие операторы проектирования.
Теорема 2. Пусть
- матричные элементы неприводимого представления Tr(g) группы G. Оператор вида 
(33)является оператором проектирования и называется оператором Вигнера. В выражении (33) mr – размерность представления Tr(g).
4. Разложение представления в прямую сумму неприводимых представлений с помощью оператора Вигнера
Обозначим через М модуль, связанный с представлением Т. Пусть неприводимым представлениям Т1, Т2, …, Тt из канонического разложения представления согласно методу, описанному ранее (см. § 4), соответствуют неприводимые подмодули М1, М2, …, Мt. Разложение модуля М вида
(34)называется каноническим разложением модуля М. Обозначим niMi=Li, так, что
. (35)Неприводимые подмодули модулей Li обозначим
; i=1, 2, …, t. (36)Эти модули нам необходимо найти.
Предположим, что задача решена. Следовательно, в каждом из модмодулей Mi(s) (s=1, 2, …, ni) найдена ортонормированная база
, в которой оператор 
представлен матрицей Тi(g) неприводимого представления Т, полученного в результате действия (по правилу из § 3) оператора на базу по формуле 
, j=1, 2, …, mi. (37)В этом выражении можно считать, что mi – размерность неприводимого представления Ti(i=1, 2, …, t), причем
- элементы базы с номером g из неприводимого подмодуля Mi. Разместим теперь элементы базы Li при фиксированном i следующим образом: