Теория симметрии молекул (стр. 3 из 13)
Определение 2. Множество G называется группой, если в этом множестве определена бинарная алгебраическая операция, удовлетворяющая следующим аксиомам (в мультипликативной записи операций):
1. Для всех элементов a, b, c из множества G
(аксиома ассоциативности).2. Для всех элементов а из множества G существует элемент e из этого множества, такой, что
(е называется единичным элементом группы).3. Для каждого элемента а для множества G существует элемент а-1 из этого из этого множества, такой, что
(а-1 называется обратным элементом к элементу а).Рассмотрев таблицу Кэли для множества C3V, можно убедиться, что множество операций симметрии молекулы аммиака является группой относительно введенной нами операции умножения в этом множестве.
Определение 3. Подмножество H группы G называется подгруппой группы G, если H само является группой относительно операции, введенной в группе G.
Для проверки того, что H является подгруппой группы G, надо проверить два условия: произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и вместе с элементом h обратный к нему элемент из группы G (он должен существовать) также принадлежит Н. В самом деле, тогда
; ассоциативность же умножения, будучи верной во всей группе G, будет иметь место и в подгруппе Н.Теорема 1. Множество всех операций симметрии молекулы является группой. Эта группа является подгруппой симметрической группы перестановок фигуры, изображающей геометрическую модель молекулы.
Определение 4. Группой симметрии молекулы называется множество S всех операций симметрии молекулы, на котором введена структура группы относительно умножения операций симметрии молекулы.
4. Гомоморфизмы и изоморфизмы
Определение 5. Отображение множества М в множество N – это правило f, по которому каждому элементу m из множества M ставится в соответствие однозначно определенный элемент mf=n из множества N.
Определение 6. Гомоморфизмом группы G в группу G¢ называется отображение j множества G в множество G¢ такое, что
(1)В качестве примера рассмотрим группу C3V и группу {-1}2, состоящую всего из двух элементов {-1}2={-1, 1}.
Построим отображение j группы C3V в группу {-1}2 (записываем это в виде j: C3V®{-1}2) по следующему правилу: элементам
, 
, 
сопоставим 1, а элементам 
, 
, 
сопоставим -1. Отображение j построено, причем, как видим, у элемента 1 группы {-1}2 есть три прообраза, т. е. три элемента группы C3V, образом каждого из которых является 1: у элемента –1 также три прообраза – это не запрещено определением отображения.Покажем теперь, что j есть гомоморфизм. Из таблицы Кэли группы C3V видно, что произведение любых двух элементов множества C3={
, , } принадлежит этому же множеству, в то же время 
. Из этой таблицы видно, что 
, i, j=1, 2, 3 принадлежит множеству C3, но с другой стороны, 
. Наконец, произведения 
и 
, i, j=1, 2, 3 принадлежат множеству 
, с другой стороны 
, 
. Таким образом для любых двух операций симметрии 
и 
из множества C3V получаем, что 
, где 
, 
, 
есть 1 или –1, т. е. отображение j, действительно есть гомоморфизм.Определение 7. Отображение f множества М в множество N называется взаимно однозначным отображением множества М на множество N, если каждый элемент множества N является образом в точности одного элемента множества M.
Определение 8. Две группы G и G¢ называются изоморфными (обозначение G@G¢), если существует взаимно однозначное отображение q группы G на группу G¢ такое, что
(2)Свойства группы или других математических объектов, сохраняющиеся при изоморфизме, называются структурными свойствами. Приведем два примера структурных свойств групп, которым предшествуют два важных определения.