Теория симметрии молекул (стр. 9 из 13)
cT: G®P: cT(g)=TrT(g).
Свойство 1. Характеры эквивалентных представлений совпадают.
Свойство 2. Характер представления Т группы G постоянен на каждом классе сопряженных элементов: cT(g-1hg)= cT(h), g, hÎG.
Определение 4. Вектор x¹0 из векторного пространства V над числовым полем Р называется собственным вектором линейного оператора
, действующего в этом пространстве, если он удовлетворяет соотношению x=lx, где l - число, которое называется собственным значением (характеристическим числом) линейного оператора.Условие того, что вектор х – собственный вектор записывается в виде матричного уравнения
(А - lI)х = 0, (15)
где х – вектор-столбец с неизвестными координатами x1, x2, …, xn. Условием существования ненулевого решения системы (15) является равенство нулю его определителя:
|A - lI| = 0. (16)
Это уравнение степени n относительно l называется характеристическим или вековым уравнением матрицы А линейного оператора, а его корни называются собственными значениями матрицы А, они являются собственными значениями оператора
.Свойство 3. Если l1, l2, …, ln – собственные значения линейного оператора
, то cT(g)=TrT(g)= l1+l2+ …+ln.Так как здесь рассматриваем конечные группы, то имеет место следующее свойство.
Свойство 4. Если Т – представление группы G над полем Р, то для каждого элемента gÎG значение cT(g) равно сумме корней из единицы степени, равной порядку элемента g.
Свойство 5. Если Т – представление группы G, то для каждого gÎG справедливо равенство cT(g-1)= cT(g).
Свойство 6. Если
и 
- характеры неприводимых представлений группы G, то 
(17)Равенство (17) называется соотношением ортогональности, для характеров, неприводимых представлений группы G.
Свойство 7. (второе соотношение ортогональности) Пусть T1, T2, …, Tm – все неэквивалентные представления группы G, K(a), K(b) – классы элементов группы G, сопряженных соответственно с a и b. Тогда
(18)где |G| - число элементов в группе G; |K(b)| - число элементов в классе сопряженных элементов K(b);
- характеры неприводимых представлений Ti, i=1, 2, …, m.2. Таблицы характеров неприводимых представлений
Приведенные свойства характеров позволяют описать построение таблиц характеров неприводимых представлений. Строки таблицы будем нумеровать, как принято в теории представлений групп характерами, но одновременно будем указывать обозначения, принятые в молекулярной спектроскопии и кристаллографии: одномерные представления обозначаются A1, B1, A2, B2, …, двумерные – E1, E2, … и, наконец, трехмерные – F1, F2, … .
Так как по свойству 2 характеры постоянны на каждом классе сопряженных элементов, то столбцы таблицы нумеруются классами сопряженных элементов. Под обозначением класса сопряженных элементов указывается число элементов в классе – порядок класса. Рассмотрим в качестве примера группу C3V. Классы сопряженных элементов группы C3V имеют вид K1={I}, K2={C3, C32}, K3={
, 
, 
}. Известно, что группа C3V имеет три неприводимых представления, характеры которых приведены в табл. 2.Таблица 2.
| Классы | K1={I} | K2={C3, C32} | K3={ , , } |
| Порядок класса | 1 | 2 | 3 |
| A1 A2 E | 1 1 2 | 1 1 -1 | 1 -1 0 |
3. Разложение характеров по неприводимым представлениям
В соответствии с рассмотренными свойствами характер приводимого представления cT можно представить в виде разложения по характерам неприводимых представлений
: 
,где ni – число, показывающее, сколько раз характер неприводимого представления Ti содержится в характере приводимого представления Т. На основании свойств ортогональности это число легко определяется, а именно:
. (19)Формула (19) имеет важные применения в теории молекулярных спектров для определения числа состояний данного типа симметрии.
4. Определение характеров неприводимых представлений при применении групповых алгебр групп
Для достаточно широкого класса групп желательно иметь общий метод нахождения характеров неприводимых представлений.
Пусть дана группа G. Найдем классы сопряженных элементов Ki группы и обозначим
сумму элементов группы, принадлежащих классу Ki. Здесь Сi являются элементами групповой алгебры PG группы G над полем Р. Проверим, перестановочны ли элементы Сi со всеми элементами алгебры PG. Для этого достаточно проверить, что для всех gÎG справедливы равенства gСi=Сigили Сi=g-1Сig.Действительно,
g-1 Сig=g-1(k1+k2+…)g=g-1k1g+g-1k2g+…
Так как в групповой алгебре выполним дистрибутивный закон, то очевидно, что правая часть содержит все элементы Сi и, следовательно, равна Сi.
Определение 5. Множество элементов алгебры, перестановочных со всеми элементами алгебры, называется центром алгебры.
Определение 6. Подмножество В алгебры называется подалгеброй алгебры А, если оно является подпространством векторного пространства А, и из того, что b1, b2ÎB, следует, что
.Можно доказать, что элементы Ci образуют базис центра Z групповой алгебры PG:
Алгебру можно записать, задав таблицу умножения базисных элементов
. (20)Элементы Cijk называются структурными константами алгебры. Для элементов Сi, образующих базис центра групповой алгебры, формула (20) принимает вид
. (21)Теперь, на основании выражения (21), фиксируя индекс i (что обозначим, взяв этот индекс в скобки), получим матрицу C(i) коэффициентов Cijk. Эту матрицу можно рассматривать как матрицу линейного оператора
, действующего в векторном пространстве, которым является центр алгебры Z. Действие его на базисные элементы Cj состоит в умножении Ci на Cj. Для того, чтобы записать матрицу C(i), надо рассмотреть столбец, в котором записаны произведения Ci на Cj. В результате получим матричное представление центра групповой алгебры. Матричное представление центра будет центром матричного представления всей алгебры. Иначе говоря, все матрицы C(i) коммутируют со всеми элементами матричного представления алгебры и между собой.Мы приходим к задаче, аналогичной известной квантово-механической задаче: дана система коммутирующих между собой операторов, найти собственные значения и собственные векторы этих операторов. Оказывается, решение такой задачи имеет важное значение и для нахождения характеров неприводимых представлений.
Полученные выше матрицы Ci являются образующими элементами алгебры матриц, изоморфной алгебре Бозуа–Меснера, которая определяется следующим образом.
Назовем i-ой матрицей смежности Ai матрицу порядка, равного порядку группы G, строки и столбцы которой занумерованы элементами группы G, причем элементы матрицы Ai с номером (g, h), g, hÎG определяются как
Матрицы Ai состоят из нулей и единиц, поэтому их называют (0, 1) – матрицами.
Определение 7. Алгеброй Боуза – Меснера называется подалгебра алгебры матриц Mn(C), порожденная (0, 1) – матрицами Ai, i=1, 2, …, d, удовлетворяющими следующим условиям: