Модели задачи пространственного вращения (стр. 1 из 2)
Рассмотрим две различные физически возможные ситуации, связанные с вращением вокруг некоей фиксированной точки – центра. В данном разделе мы, не стремясь к излишней строгости изложения, ограничимся физическими аналогиями и подходом к анализу криволинейного движения, заимствованным из классической теоретической механики.
1. В первом случае представим себе вращательное движение двухатомной молекулы вокруг её центра масс. Пренебрегая относительно небольшими колебательными деформациями химической связи, можно считать постоянным межъядерное расстояние R, а соответственно, и радиусы сфер, по которым перемещается каждый из атомов вращающейся молекулы с массами
и 
. Такая модель называется жёстким ротатором и может рассматриваться как пример чистого вращения (рис. 1) 
Рис. 1. Жесткий ротатор.
Ему отвечает кинетическая энергия
(1)где L– момент импульса, I – момент инерции, а
– приведенная масса, 
В свободном вращательном движении потенциальная энергия отсутствует, и оператор кинетической энергии представляет собой одновременно оператор полной энергии. Он запишется так:
где R=const (2)Напомним читателю, что выражение оператора момента импульса I дано в разделе 2.2. Следует ожидать, что в сферических координатах оператор
вр должен зависеть только от угловых переменных 
, но не от радиуса 
. Это легко проверить с помощью анализа размерности.2. Второй случай сложнее и полнее. Он имеет место при движении одного электрона в поле ядра атома водорода, водородоподобном ионе или при взаимном вращении частиц в электрон-позитронной системе, известной как атом позитрония. Такое движение называется центральным, а сама задача Кеплеровой.
Электрон невозможно зафиксировать на сфере постоянного радиуса – это запрещено принципом неопределенности. При движении электрона как бы образуется пространственное облако. Тем не менее, можно обратиться к аналогии с классической механикой, которая позволяет в любом криволинейном движении выделить нормальную (радиальную) и тангенциальную (касательную) компоненты. Тангенциальная составляющая кинетической энергии соответствует чистому вращению – перемещению по сфере – и связана с моментом импульса формулой (1).
Движение электрона, порождающее облако с вероятностным распределением плотности, можно условно представить как совокупность чистых вращений на концентрических сферах с фиксированными радиусами и радиальных перемещений между этими сферами. В таком случае чисто вращательное слагаемое в составе оператора кинетической энергии также описывается формулой (2) но при этом момент инерции является переменной величиной из-за меняющегося радиуса
(3)где
– масса электрона, а 
.Присутствие радиального слагаемого
в этом случае заставляет представить оператор кинетической энергии 
в виде суммы 
(4)3. В силу того, что оператор кинетической энергии частицы отличается от лапласиана только множителем
(см. уравнение 2.15), домножив на него формулу (4.46), получим 
(5)Сравнивая формулы (4.50) и (4.51), приходим к фундаментальному соотношению
, (6)т.е. оператор квадрата момента импульса совпадает с оператором Лежандра
с точностью до постоянного множителя 
. Заметим, что размерность собственных значений оператора 
совпадает с размерностью постоянной Планка 
.4. Этот же результат можно получить и последовательными математическими преобразованиями компонент операторов
и 
. Процедура перехода к сферическим координатам для компонент 
аналогична той, что была осуществлена в разделе. при переводе 
к плоской полярной системе координат. Кстати говоря, в сферических координатах имеет тот же самый вид. Используя уравнения и читатель сам легко получит выражения 
(7) 
(8) 
(9)Суммируя результаты возведения в квадрат найденных выражений для операторов проекций момента импульса, получаем формулу (6), которая в развернутой форме с учетом имеет вид
(10)5. Жесткий ротатор. Уравнение Шредингера.
5.1. Согласно вышеизложенному, уравнение Шредингера для жесткого ротатора может быть представлено так
(11)Поскольку момент инерции постоянен (I=const), волновые функция жёсткого ротатора с точностью до постоянного множителя совпадают с собственными функциями оператора Лежандра. Последние обозначаются символом
и носят название шаровых, или сферических функций. Это значит, что должно быть справедливым операторное уравнение, следующее из (11) 
(12)где
– собственное значение оператора Лежандра, связанное с квадратом момента импульса и энергией вращения; 
(13)5.2. Поэтому следующий этап решения нашей задачи состоит в нахождении собственных функций операторного уравнения (4.57), которое в развёрнутом виде представляется так
(14)Конструкция уравнения (14), включающего сумму операторов, каждый из которых содержит одну переменную, позволяет легко произвести разделение переменных, используя метод Фурье.
5.3. Для этого представим функцию
в виде произведения 
, (15)умножим обе части уравнения (14) слева на
и перегруппируем слагаемые, включающие разные переменные: 
(16)Переменные
и 
полностью разделились, поэтому правую и левую его части можно приравнять одной и той же постоянной. В результате получится два независимых уравнения 
(17) 
(18)5.4. Уравнение (17) – это уравнение Шредингера для плоского ротатора, где
, и решение его было предметом обсуждения в разделе 3.2: 
, где 
(19)причём квантовое число m связано с квантованием проекции момента импульса на ось z, так как изменение угла
описывает вращение вокруг этой оси: 
6. Множитель
пока ещё не раскрыт, однако ясно, что каждая волновая функция отвечает состоянию с некоторым определенным фиксированным квадратом момента импульса или, что то же самое, с фиксированным модулем момента импульса. Обратим внимание читателя на то, что все преобразования, начавшись как векторные, завершаются расчетами в скалярной форме, и понятно, что из таких расчётов естественном путём вытекает квантование абсолютного значения векторной величины в виде квантования ее квадрата. Необходимое квантовое число назовем l и далее получим его значение.