Моделирования связи структура химических соединений молекулярные свойства и биологическая акти (стр. 7 из 7)
Коэффициенты c2, s2 матрицы T2 оставим пока неопределенными, в то время как остальные коэффициенты ck, sk будем выбирать так, чтобы матрица
имела ту же форму, что и J. Следовательно, матрица T2 не аннулирует ни одного элемента, но добавляет элемент J21, матрица S2 аннулирует J21, но добавляет J13, матрица T3 аннулирует J13, но добавляет J32 и т. д. и окончательно матрица 
аннулирует Jn,n-1 и ничего не добавляет.При этом справедливы следующие соотношения:
Таким образом, ортогональное преобразование (4.3.1.V) эквивалентно преобразованию подобия симметричной трехдиагональной матрицы
(4.3.1.VI)где матрица
будет также трехдиагональной, поэтому матрицу T2, которая пока еще не определена, необходимо выбирать так, чтобы преобразование 
было QR-преобразованием со сдвигом, равным s.Обычно QR-алгоритм можно записать в следующем виде:
(4.3.1.VII)где
— верхняя треугольная матрица. Но не обязательно выполнять вычисления по формулам (4.3.1.VII). Сдвиг можно осуществлять и неявным образом. Доказано, например, в работе [17], что определенным выбором T2 можно добиться того, чтобы преобразование (4.3.1.VI) было эквивалентно QR-преобразованию для M с заданным сдвигом s.Пусть T и Ts ортогональные матрицы такие, что выполняются следующие условия:
то есть элементы первого столбца Ts равны элементам первого столбца T и
Тогда, если поддиагональные элементы матрицы M ненулевые, то матрица
связана с 
следующим образом: 
где D — диагональная матрица, элементы которой равны ±1.
Следовательно, задача заключается лишь в том, чтобы первый столбец матрицы T выбрать равным первому столбцу матрицы Ts. Далее, имеем
Учитывая тот факт, что обратная матрица к верхней треугольной будет также верхней треугольной, можно сделать вывод, что первый столбец искомой матрицы Ts будет пропорционален первому столбцу матрицы M — sE.
Таким образом, матрица T будет матрицей QR-преобразования со сдвигом s, если ее первый столбец будет пропорционален первому столбцу матрицы M — sE. А так как T = T2T3…Tn, окончательно приходим к выводу, что T2 в (4.3.1.V) необходимо выбирать так, чтобы ее первый столбец был пропорционален первому столбцу M — sE. В этом случае преобразование (4.3.1.V) будет эквивалентно QR-преобразованию со сдвигом s для матрицы M. Параметр сдвига s выбирается равным собственному значению нижнего минора матрицы M,
,которое ближе к mn,n. При таком выборе параметра метод обладает глобальной и почти всегда кубической сходимостью [17].
Таким образом, в результате преобразования (4.3.1.IV), (4.3.1.V) сингулярное разложение для матрицы J(0) будет иметь вид
где G и H — ортогональные матрицы.