Момент импульса и его свойства (стр. 1 из 2)
В предыдущем разделе мы уже получили многие важные соотношения, касающиеся момента импульса и его проекций. В этой главе будет доведено до конца решение задачи о квантовании момента количества движения пространственного ротатора и рассмотрены его свойства.
4.3.6.1.Согласно (4.75), не существует состояния объёмного ротатора с
. Поэтому при действии на волновую функцию с максимально возможным значением 
, т.е. 
, оператор повышения 
становится аннигилятором – "уничтожителем" 
. (4.95)Совершенно так же оператор
уничтожает состояние с 
.(4.96)4.3.6.2. Чтобы от оператора сдвига
, не имеющего собственных значений, перейти к одному из операторов с конкретными собственными значениями 
и 
достаточно умножить (4.95) слева на и воспользоваться формулой (4.93): 
.(4.96)Отсюда на основании (4.64) и (4.91) следует
, т.е. 
(4.98)4.3.6.3. В силу того, что постоянная
определяет квадрат модуля момента импульса, она может быть только положительной величиной, либо равной нулю 
и, соответственно, 
(4.99)При дискретных допустимых значениях lего минимальная величина равна нулю, а все остальные сдвигаются последовательно на единицу вверх
или 
(4.100)4.3.6.4. Этим охарактеризованы все свойства момента импульса при свободном вращении, а также и при вращательном движении на эквипотенциальной сферической поверхности. Квадрат модуля
, сам модуль вектора 
и возможные его проекции на ось zопределяются формулами 
, где 
, т.е. 
(4.101) 
(4.102) 
, где 
т.е. 
.(4.103)Таким образом, всякому конкретному значению модуля момента импульса
отвечает 
возможное значение проекции 
, т.е. каждому уровню вращательной энергии соответствует возможных состояний пространственного ротатора. Уровень, определяемый квадратом момента импульса , соответственно, кратно вырожден,4.3.6.5. В то время как проекция
имеет конкретное значение, две другие проекции 
и 
, как мы говорили выше, остаются неопределенными. Это имеет наглядный физический смысл, который наиболее понятен из графической иллюстрации. На рис. 4.4 представлены возможные ориентации вектора 
при l=2. Угол наклона вектора к оси zопределяется формулой 
(4.104)т.е,
и угол 
никогда не равен 0. Это означает, что вектор совершает прецессионное движение вокруг оси z.4.3.6.6. Обращаем еще раз внимание читателя на то, что такая ситуация порождена принципом неопределенности. Да и сама формула квантования момента импульса пространственного ротатора (4.102) в которой величина
не просто пропорциональна квантовому числу l, а имеет более сложный вид, является по сути следствием этого принципа. 
4.3.7. Энергетические уровни жесткого ротатора и его спектр
4.3.7.1. Поскольку квадрат момента импульса в жестком ротаторе однозначно связан с энергией (4.47), формула (4.101) позволяет легко рассчитать его уровни и спектральные термы (Т), т.е. уровни, выраженные в единицах измерения волнового числа (см–1 ) , являющегося характеристикой излучения
(4.105) 
.(4.105) 
(4.107) Величина В, определяемая (4.107),называется вращательнойпостоянной ротатора.
4.3.7.2. Обозначим величину
и составим таблицу 4.5 возможных значений энергии жесткого ротатора, а на рис. 4.5. представим его энергетическую диаграмму.4.3.7.3. Подобно плоскому ротатору, энергетическая диаграмма жесткого ротатора демонстрирует расходящуюся систему уровней, однако значительно возрастает кратность вырождения. Расстояния между соседними уровнями увеличиваются с ростом квантового числа l, причем они линейно связаны с квантовым числом нижнего уровня l:
. (4.108)Таблица 4.5. Уровни жесткого ротатора
| l | Символ уровня | ЭнергияЕ,  | Вырождениеg=2l+1 |
| 0 | S | 0 | 1 |
| 1 | P | 2 | 3 |
| 2 | D | 6 | 5 |
| 3 | F | 12 | 7 |
| 4 | G | 20 | 9 |
Рис. 4.5. Энергетическая диаграмма жесткого ротатора.
Для жесткого ротатора, например, двухатомной молекулы, разрешены спектральные переходы между соседними уровнями
. Поэтому, согласно уравнению 4.108, ее спектр представляет собой набор линий, отстоящих друг от друга на примерно одинаковую величину, равную 
в энергетической шкале, или 2В в шкале волновых чисел 
. Поскольку вращательная постоянная связана с моментом инерции, изучение вращательных спектров молекул даёт возможность экспериментального определения момента инерции молекул и, следовательно, межатомных расстояний.4.3.8. Волновые функции жёсткого ротатора
4.3.8.1. Использование операторов сдвигов состояний позволяет также максимально просто найти собственные функций операторов
и без каких-либо специальных сведений о дифференциальных уравнениях. Авторы сознательно построили настоящий раздел в расчёте на внимательного читателя-химика, владеющего лишь минимальными, но достаточно прочными навыками в области тригонометрии и математического анализа.4.3.8.2. Прежде всего выпишем операторы повышения и понижения в сферических координатах, используя формулы (4.53) и (4.54):