Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод (стр. 10 из 16)
3.3. Зв'язок рівнянь плоскої фільтрації з теорією функцій КЗ
Щоб застосувати апарат теорії функцій комплексної змінної до рішення рівнянь у частинних похідних, що описують конкретні фізичні процеси необхідно встановити, як можна перейти від крайових задач для цих рівнянь до завдань теорії аналітичних функцій комплексної змінної. Зв'язок теорії функцій комплексної змінної із крайовими задачами теорії фільтрації підземних вод дає можливість за допомогою методу конформних відображень знаходити аналітичні як точні, так і наближені вирішення для багатьох випадків, що виникають у практиці гідротехнічного, меліоративного й водогосподарчого будівництва. Метод конформних відображень можна застосовувати при розв’язанні різних крайових задач математичної фізики. Однак найбільш ефективне його застосування виявляється у випадку крайових задач для рівняння Лапласа, рішеннями якого є гармонійні функції. Вид цієї функції залежить від області, у якій шукається розв’язання, і від виду крайових умов для шуканого рішення. Як відомо, гармонійні функції можна зв'язати з аналітичними, і тоді завдання про знаходження рішення рівняння Лапласа (рівняння фільтрації) буде зведена до завдання знаходження аналітичної в розглянутій області (області фільтрації) функції.
Рівняння плоскої сталої фільтрації важкої нестисливої рідини в однорідному ізотропному пористому середовищі у випадку, якщо рух рідини (підземних вод) відбувається у вертикальній площині (профільна фільтрація), можуть бути записані у вигляді
(3.20) 
(3.21)Рівність (3.20) є умовою того, що величина -vydx + vxdy є повним диференціалом деякої функції ψ(x, y) , що, як і функція
(x,y), визначається з точністю до довільного доданка. Отже, відповідно до визначення повного диференціала маємо 
. (3.22)Звідси,
(3.23)Порівнюючи (3.21) і (3.23), одержуємо
(3.24)Ці рівності, як відомо, називаються умовами Коші-Рімана (Эйлера-Даламбера). Диференціюючи першу рівність по y , а другу по x, одержуємо
. (3.25)Таким чином, функція ψ(x,y) так само, як і функція
(x,y), задовольняє рівнянню Лапласа, тобто є гармонійною функцією.Функція ψ(x, y) називається функцією потоку. Її назва визначається фізичним змістом цієї функції, тому що диференціальне рівняння лінії току має вигляд (3.18), яких можна записати в такий спосіб:
. (3.26)Загальний інтеграл цього рівняння є функція ψ(x,y) = C (C = const), отже, на лініях току функція ψ(x, y) зберігає постійне значення. З'ясуємо фізичний зміст функції потоку, а саме, покажемо, що функція ψ(x,y) пов'язана з поняттям фільтраційної витрати. Нехай KL - довільна крива в області фільтрації G - є напрямної циліндричної поверхні одиничної висоти з утворюючої, перпендикулярної площини xOy. Витрата рідини Q через таку поверхню дорівнює сумі фільтраційних витрат через нескінченно малі елементи кривій KL.
Завдяки нерозривності розглянутого потоку рідини елементарна витрата d через елемент кривої dl дорівнює алгебраїчній сумі витрат через ділянки 1-2 й 2-3 - відрізки прямих, паралельних осям координат:
d = dQx+ dQy = vdl.
Будемо вважати, що значення витрати Q(x,y) зростає при русі уздовж кривої KL у напрямку від точки 1 до точки 3 (позитивний напрямок кривої). Тоді маємо
d = dQx+ sQy = vy(-dx) + vxdy → d = dψ.
Інтегруючи останнє рівняння уздовж кривої від точки K до точки L, знайдемо шукану фільтраційну витрату
(3.27)тобто збільшення функції потоку ∆ψ уздовж довільної кривої KL, узятої в області фільтрації G, дорівнює фільтраційній витраті через цю криву.
Якщо задати функцію потоку як функцію від довжини дуги l кривій KL, то для визначення витрати одержимо
(3.28)Тому що функції
(x, y) і ψ(x, y) задовольняють умовам Коші - Рімана, то комплексна функція 
(3.29)буде аналітичною в області фільтрації G й її можна розглядати як функцію комплексної змінної ω=f(z) , де z = x + iy. Функція (3.29) у теорії фільтрації називається комплексним потенціалом фільтрації. Таким чином, через комплексний потенціал фільтрації встановлюється зв'язок фільтрації з теорією функцій комплексної змінної.
Розглянемо ще одну комплексну величину vx - iyy , що у теорії фільтрації називається комплексною швидкістю фільтрації. Диференціюючи рівняння (3.29) по z і використовуючи співвідношення (3.20), (3.23), знайдемо похідну
. (3.30)Тому що похідна аналітичної функції є також аналітичною функцією, то комплексна швидкість фільтрації w, обумовлена рівністю
, (3.31)є аналітичною функцією в області фільтрації G .
Геометричне подання про плоский сталий фільтраційний потік дає так названу гідродинамічну сітку, тобто сітку, утворену сімейством ліній потоку ψ(x,y)=ψn=const і сімейством еквіпотенціальних ліній
(x,y)= m=const, які одночасно є й лініями рівних напорів h = hm = const.З умов Коші-Рімана слідує рівність
(3.32)яка показує, що еквіпотенціальні лінії й лінії потоку взаємно ортогональні.
Таким чином, якщо для досліджуваного руху підземних вод знайти комплексний потенціал фільтрації (3.29) або комплексну швидкість фільтрації (3.31), те можна легко визначити величини
(x,y), ψ(x,y), vx(x,y), vy(x,y), отже й всі інші характеристики фільтраційного потоку.3.4. Метод конформних відображень у теорії фільтрації
Якщо геометрична форма області G складна, то відшукання рішення крайової задачі пов'язане з більшими труднощами. Тому при вирішенні тієї чи іншої крайової задачі намагаються спростити як диференціальне рівняння із граничними умовами, так і вид області, у якій відшукується вирішення. Одним з найпоширеніших методів такого спрощення крайового завдання є метод перетворення незалежних змінних (заміна змінних), зокрема, метод конформного перетворення незалежних змінних.
Нехай у деякій області G необхідно знайти рішення крайової задачі для рівняння Лапласа
. (3.33)Спробуємо спростити вид області G за допомогою заміни змінних
(3.34)або
(3.35)При переході до новим змінних ξ і η міняється не тільки область G, але й саме диференціальне рівняння й граничні умови. Очевидно, найбільший інтерес представляють перетворення, що не міняють вид диференціального рівняння, тобто в нашому випадку перетворення, щодо яких саме рівняння Лапласа залишається інваріантним. Покажемо, що в цьому випадку функції (3.34), що здійснюють перетворення області G у більш просту область D, належать, як і функція
(x,y), до класу гармонійних функцій, більше того, вони будуть сполученими гармонійними функціями.Знайдемо
Підставляючи знайдені вирази в рівняння (3.33), одержимо наступне диференціальне рівняння
. (3.36)Очевидно, для того, щоб диференціальне рівняння (3.36) було рівнянням Лапласа, необхідно, щоб перетворення (3.34) задовольняло таким вимогам:
(3.37) 
(3.38) 
. (3.39)Рівняння (3.37) показують, що функції
і 
є гармонійними функціями. Розділивши рівняння (3.38) на 
, маємо