Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод (стр. 12 из 16)

на границі з (k + 1) -м водоймою

(3.57)

де

- наведена фільтраційна витрата в (k+1)-й водоймі; Q - повна фільтраційна витрата.

На водонепроникній ділянці A₁E₁, називаній водоупором, значення функцій u й v невідомі, однак можна вказати межі їхньої зміни:

(3.58)

(3.59)

З нерівності (3.59) бачимо, що лінія A₁E₁, щоє образом водоупора в площині функції Жуковського G, укладена в горизонтальній смузі товщини H.

Таким чином, в області функції Жуковського G криві депресії перетворяться в горизонтальні прямі, інші ділянки - у невідомі лінії, причому водоупор перетвориться в деяку криву лінію, укладену в смузі товщиною H, де H дорівнює різниці оцінок води у верхній і нижній водоймах. При дуже великій глибині залягання водоупора, коли можна покласти

, всі ділянки границі області функції Жуковського G будуть відомі, якщо водопроникні ділянки - вертикальні (x = x_k = const). Тоді, відображаючи конформно на область функції Жуковського G, щомає вид прямолінійного багатокутника, ОКП ω за допомогою функції G=F(ω) і з огляду на співвідношення (3.53), шукану характеристичну функцію плину знаходимо у вигляді

. (3.60)

Якщо ж зазначене відображення здійснюється через допоміжну напівплощину, то шукане рішення можна записати в параметричній формі

(3.61)

Викладений спосіб можна застосовувати й у тому випадку, коли водопроникні й водонепроникні ділянки не є відповідно горизонтальними й вертикальними. При цьому як вихідну область досить вибрати область функції Жуковського G, а після ОКП ω на область G за допомогою співвідношення (3.53) знайти границі області фільтрації z (напівзворотний спосіб Ведерникова-Павловського). Область G у цьому випадку вибирають так, щоб, з одного боку, її можна було порівняно легко конформно відобразити на область ω абоζ, з іншого боку - побудована для неї область фільтрації z повинна відповідати реальним умовам фільтраційного завдання.

3.5. Конформні перетворення й моделювання масо переносу

Процес міграції розчинних речовин при фільтрації підземних вод, як відомо, описується системою рівнянь:

(3.62)

; (3.63)

(3.64)

або в скалярній формі

(3.65)

(3.66)

(3.67)

де v = {v_x,v_y,v_z} - вектор швидкості фільтрації, м/доб;

(x,y,z,t) - потенціал фільтрації; c(x, y, z, t) і N(x, y, z, t) - концентрація дифундуючої речовини відповідно в рідинній і твердій фазах, г/см , D - коефіцієнт конвективної дифузії, м³/доб; σ - активна (або ефективна) пористість середовища, у якому протікає фільтрація розчину; t - година (у добах); - оператор Гамільтона; γ - стала швидкості масообміну; β - коефіцієнт розподілу речовини між; фазами в умовах рівноваги по лінійній ізтермі Генрі c_p = βN. У багатьох практичних завданнях можна обмежитися дослідженням процесу масопереносу розчинних у фільтраційному потоці речовин тільки на основі рівнянь, що описують конвективний процес, а саме:

(3.68)

(3.69)

причому масообмін визначається такою досить розповсюдженою залежністю:

(3.70)

де

- концентрація граничної насиченості.

Наведені рівняння описують, як правило, міграцію й фізичну трансформацію (сорбцію, десорбцію) консервативних водорозчинних речовин.

Якщо дослідити масоперенос при плоско-вертикальній і плановій усталеній або квазіусталеній фільтрації підземних вод, то для моделювання цього процеса доцільно застосувати конформне перетворення рівнянь масопереноса до криволінійних змінних - координатам точок області комплексного потенціала фільтрації.

У разі плоско-вертикальної (профільної) фільтрації рівняння рухові підземних вод запишуться у вигляді

(3.71)

де χ - коефіцієнт фільтрації, h - напір, який визначається рівністю

(3.72)

причому вісь Oy спрямовано вертикально вниз, p - тиск, ρ - щільність, g - прискорення сили тяжіння.

У разі планової напорної фільтрації відповідні рівняння записуються так:

Φ = -χTh;

(3.73)

а в разі планової безнапорної фільтрації

(3.74)

У рівняннях (3.73), (3.74) через T позначено потужність напірного водоносного шару: q - вектор питомої фільтраційної витрати (м²/доб), a h - напір, який у даному випадку визначається таким рівнянням:

(3.75)

де Z - вертикальна координата точки фільтраційного потоку.

Припущення, що для фільтраційних течій, що розглядаються, можна побудувати область комплексного потенціала ω =

+ iψ, де ψ- функція течії, і що відома характеристична функція течії

z = x + iy = F(ω) = F₁(

, ψ) + i₂( ,ψ), (3.76)

за допомогою заміни

x = F₁(

,ψ); y = F₂( ,ψ) (3.77)

перетворимо рівняння конвективної дифузії до нових незалежних змінних

і ψ. У результаті такої заміни рівняння конвективної дифузії в разі плоско-вертикальної фільтрації запишеться у вигляді

(3.78)

у разі планової напорної фільтрації - у такому вигляді:

(3.79)

а в разі планової безнапорної фільтрації перетворюється до вигляду

(3.80)

Якщо в рівняннях (3.78)-(3.80) D = 0, отримаємо рівняння конвективного масопереносу без враховування дифузійних процесів, що перетворені до нових змінних

, ψ або Φ, Ψ або Φ*, Ψ* відповідно для випадків плоско-вертикальної, планової напорної і планової безнапорної фільтрації, а саме:

(3.81)

(3.82)

(3.83)

Отже, у разі нехтування дифузійними процесами питання про визначення концентрації речовин, що забруднюють підземні води, зводиться до розв'язання відповідної фільтраційної задачі та одного з рівнянь (3.81)-(3.83) із одною додатковою (початковою) умовою, яка задається залежно від фізичної постановки задачі.

Важливою характеристикою при дослідженні процесу забруднення підземних вод є час, протягом якого в даній точці області

(або області z) концентрація розчинної речовини досягає визначеної величини. Крім того, виникає питання про визначення часу, протягом якого концентрація розчинної речовини досягає в даній точці максимального значення. Основні диференціальні рівняння, з яких визначаються ці характеристики, а також фронт просування речовини (домішку) у фільтарційному потоці будуть наведені нижче.

Нехай відома концентрація розчинної в фільтраційному потоці речовини як функції координат точок області комплексного потенціала й і години t . Тоді для кожного значення (моменту) часу t можна побудуввати поверхню розподілу концентрації відносно області комплексного потенціала

, а отже, й відносно області фільтрації z . Цим самим для кожного моменту часу буде визначено значення концентрації речовини, що розповсюджується в підземних водах, у будь-якій точці області фільтрації або впродовж; лінії, зокрема, впродовж; будь-якої йз ліній чи течії еквіпотенціальних ліній.