Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод (стр. 4 из 16)
Замість власних значень λn можна шукати значення v
= λ + µ2 з рівняння 
(1.83)Таким чином, отримані аналітичні рішення всіх основних крайових завдань конвективної дифузії, забруднюючих воду, речовин за умови осереднення швидкості фільтрації по просторових координатах.
1.1.3. Моделювання масопереносу у випадку D=D(
) при наявності масообмінуВихідні рівняння. Процес масопереносу розчинних речовин (солей, гіпсів й ін.) при фільтрації підземних вод можна описати наступною системою диференціальних рівнянь у частинних похідних:
(1.84) 
(1.85) 
(1.86)де
- вектор швидкості фільтрації; 
- потенціал швидкості фільтрації; χ - коефіцієнт фільтрації; 
- дифузійний потік або вектор масової швидкості розчиненої речовини (вектор кількості речовини, що переноситься через одиницю площадки за одиницю часу); 
і 
- концентрації речовини відповідно в рідкій і твердій фазах; 
- коефіцієнт конвективної дифузії (Dm- коефіцієнт молекулярної дифузії), σ - активна (або ефективна) пористість середовища; 
- оператор Гамільтона, α - постійна швидкості масообміну; β- коефіцієнт розподілу речовини між фазами в умовах рівноваги при лінійній ізотермі Генрі 
(1.87)де Γ - коефіцієнт Генрі.
У багатьох практичних задачах як рівняння кінетики масообміну береться одне з наступних рівнянь.
1) при кристалізації або розчиненні компонентів породи у фільтрівній воді
(1.88)де
-коефіцієнт насичення:2) при нерівномірній необоротній сорбції або десорбції відповідно
(1.89)3) при рівноважній сорбції або десорбції відповідно
(1.90) 
(1.91)де
(або 
) - так звана ефективна пористість або масооб’єм поглинання (виділення) речовини породою.Надалі як рівняння кінетики беремо рівняння (1.88), що є в математичному відношенні найбільш загальним з наведених вище. Тому у випадку плоско-вертикальної сталої фільтрації система рівнянь масопереносу запишеться у вигляді
(1.92) 
(1.93)Припустимо, що вирішено фільтраційне завдання й визначений комплексний потенціал фільтрації
як деяка аналітична функція 
. Тоді область комплексного потенціалу 
буде конформно відображатися на область фільтрації z функцією 
(1.94)названою зазвичай характеристичною функцією течії (
- функція потоку). Доцільно перетворити рівняння конвективної дифузії (1.93) за допомогою заміни (1.94) до нових незалежних змінних 
й . При такому конформному перетворенні варто враховувати прийняте припущення про залежність коефіцієнта конвективної дифузії Dyвід швидкості фільтрації v. Крім того, варто взяти до уваги, що величина коефіцієнта конвективної дифузії Dyзалежить не тільки від величини швидкості фільтрації, але й від її напрямку як тензор, і при рішенні крайових завдань конвективної дифузії, як правило, швидкість фільтрації осереднюється або по всій області комплексного потенціалу, або по одній з координат точок цієї області.У зв'язку із цим доцільно робити осереднення коефіцієнта конвективної дифузії в новій системі координат окремо уздовж еквіпотенциальних ліній й уздовж лінії струму. Тим самим уводиться поняття коефіцієнта поперечної конвективної дифузії D
і коефіцієнта поздовжньої конвективної дифузії D 
. Таким чином, у результаті перетворення рівняння (1.93) до нових змінних одержимо 
(1.95)Якщо ввести безрозмірні величини
то рівняння (1.95) запишеться у вигляді
(1.96)де H - діючий напір.
Одержання рішення при осереднені швидкості фільтрації.
При вивченні процесів міграції промислових або побутових стічних вод, що скидають у водойму, а також при розрахунку виносу ядохімікатів або добрив із сільськогосподарських угідь, розглянутих у вигляді смуги певної ширини, виникає необхідність визначення якісного складу підземних вод, ступеня їхнього забруднення або мінералізації. Рішення всіх цих важливих питань зводиться до розгляду відповідних крайових завдань фільтрації й конвективної дифузії, фільтраційні задачі для яких розглянуті вище.
Будемо вирішувати крайову задачу конвективної дифузії при осереднені швидкості фільтрації по всій області комплексного потенціалу
, потім розглянемо випадок осереднення швидкості фільтрації по одній з координат області комплексного потенціалу або . Опускаючи риски над безрозмірними величинами в рівнянні (1.96), в області шукаємо рішення рівняння 
(1.97)де
при наступних граничних і початкових умовах:
(1.98) 
(1.99)причому через c1 позначена концентрація речовини у водоймі АВ, а через c0 - концентрація речовини в підземних водах у початковий момент часу t0 = 0 . Рішення крайової задачі (1.97)-(1.99) будемо шукати у вигляді
(1. 100)де функція
знаходиться як рішення стаціонарної задачі 
(1. 101) 
(1. 102)а функція
знаходиться в результаті рішення нестаціонарної крайової задачі 
(1. 103) 
(1. 104) 
(1. 105)Функція, що задовольняє рівнянню (1.101) і граничним умовам (1.102), не залежить від змінної ψ, а крайова задача (1.101),(1.102) еквівалентна наступній:
(1. 106)Вирішивши крайову задачу, знайдемо
(1. 107)де
Розглянемо тепер задачу
(1. 108)Загальна схема методу Фур'є. Рішення крайової задачі шукаємо у вигляді
. Підставивши це рішення в (1.108), одержимо: