Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод (стр. 8 из 16)
З урахуванням крайової умови маємо
(2.48)Для визначення власних значень
, що відповідають цим власним функціям, задовольнимо граничну умову на правій границі 
. Маємо 
Позначимо
Тоді рішення лінійної частини задачі про визначення швидкості потоку може бути записане у вигляді
(2.49)Запишемо тепер рівняння відносно b(z) з урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку u(z) .
(2.50)З урахуванням отриманого виразу для швидкості потоку
(2.52)Завдання Штурма-Ліувілля має вигляд
(2.53) 
(2.54)Рішення шукаємо у вигляді
Із граничної умови
знаходимо 
(2.55)Із другої граничної умови
знаходимо власні значення задачі 
У такий спосіб.
(2.56)3. Прогнозування якості підземних вод
3.1. Основні фізичні закони фільтрації підземних вод
Під фільтрацією мають на увазі повільний рух (просочування) рідини чи газу, розчину або газованої рідини в пористому або тріщинуватому середовищі. Надалі мова йтиме про фільтрацію води або слабких розчинів у ґрунтах і породах.
Обсяг ґрунту W складається з обсягу W4часток ґрунту й обсягу порожнеч Wn. Співвідношення між обсягом, займаним кістяком ґрунту й обсягом його порожнеч характеризується параметром
, називаним коефіцієнтом пористості або просто пористістю ґрунту. Цей параметр визначається відношенням 
(3.1)Поперечний розмір окремих пор коливається від часток мікрона до декількох сантиметрів. Частина води звичайно постійно втримується ґрунтом за допомогою молекулярних сил (капілярна й плівкова вода), а частина переміщається під дією сил ваги (гравітаційна або ґрунтова вода). Тому іншою важливою характеристикою ґрунту є параметр
, що визначається відношенням 
, (3.2)де Wгв - обсяг, що заповнює гравітаційна вода, здатна випливати або втікати в даний обсяг W ґрунту під дією сил ваги. Цей параметр називається коефіцієнтом водовіддачі або недостачею насичення (іноді активною пористістю). Активна пористість
трохи менше пористості , але іноді через малу різницю між цими параметрами для проведення розрахунків користуються тільки коефіцієнтом пористості 
.Будемо розглядати такий ґрунт, у якому всі порожнечі повністю заповнені рідиною (водою або розчином). У такому водонасиченому ґрунті за певних умов здійснюється рух води під дією сил ваги, тобто спостерігається фільтрація. Переміщення води в не повністю насиченому ґрунті розглядати не будемо. Крім того, будемо розглядати тільки рух води або слабких водяних розчинів, приймаючи їх за ідеально нестисливу рідину.
Просочування води через границю сухого або водоненасиченого ґрунту в розглянутий обсяг водонасиченого ґрунту називається інфільтрацією. Зворотний рух води може спостерігатися за рахунок випару, транспірації, капілярного підняття. Інфільтрація або випар (транспірація) характеризуються кількістю рідини
, що надходить через одиничну горизонтальну площадку за одиницю часу. Величина називається питомою інтенсивністю інфільтрації або випару (транспірації).Простір водонасиченого ґрунту або породи, у якому відбувається рух підземних вод під дією сил ваги, називається областю фільтрації підземних вод, а потік води, що охоплює цю область, називають фільтраційним або підземним потоком. Ґрунт, склад і властивості якого однакові у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо ж властивості ґрунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку - анізотропним.
Ґрунт, склад і властивості якого однакові у всіх рівні по обсязі частинах області фільтрації, називається однорідним. Якщо властивості ґрунту проявляються однаково у всіх напрямках простору, то такий ґрунт (або пористе середовище) називається ізотропним, у противному випадку його називають анізотропним.
Рух води або іншої рідини в пористому середовищі залежить від структур ґрунту, форми пор і тріщин. Однак для практичних цілей становить інтерес, як рухається осереднений по величині й напрямку підземний водний потік. Тому на практиці використають тільки осереднені характеристики фільтраційного потоку. Для математичного опису процесу фільтрації реальний потік рідини заміняється деяким фіктивним фільтраційним потоком, що безупинно заповнює всі перетини пористого середовища. При цьому приймається, що витрата, обумовлена кількістю рідини, що протікає через будь-яку одиничну площадку розглянутого перетину за одиницю часу у фіктивному потоці, дорівнює витраті реального фільтраційного потоку. Крім того, для фіктивного потоку тиск на обрану площадку дорівнює тиску реального потоку на ту ж площадку, а сили опору, розглянуті як масові (об'ємні) сили, для фіктивного потоку у виділеному обсязі повинні рівнятися реальним силам для того ж обсягу.
Таким чином, замість реального фільтраційного потоку розглядається деяка фізична модель цього потоку, при цьому основні, що цікавлять дослідника характеристики фіктивного (модельного) потоку або збігаються з відповідними характеристиками реального потоку, або по характеристиках фіктивного потоку можна визначити характеристики, що цікавлять, реального потоку. Це, зокрема, стосується визначення середнього значення правдивої швидкості руху часток рідини. Тому для визначення середньої швидкості руху часток рідини в пористому середовищі вводиться статистичне поняття швидкості фільтрації. Нехай через площу ∆S за одиницю часу (добу) протікає ∆Q об'ємних одиниць рідини. Тоді середнє значення швидкості фільтрації визначиться рівністю
, (3.3)а швидкість фільтрації v у розглянутій точці визначиться як межа, до якого прагне середня швидкість фільтрації при зменшенні площадки, тобто
.У дійсності площа ∆S у нуль не перетворюється, а мається на увазі її зменшення до досить малої по площі величини, однак значно більшої, ніж площа середнього перетину пори або тріщини. Якщо тепер використати поняття коефіцієнта пористості, то середня швидкість руху води через пори, площа яких дорівнює ∆Sп, визначиться наступною рівністю.
. (3.4.)Аналогічно швидкість v руху рідини в точці
, (3.5)Якщо ввести вектор швидкості фільтрації V = (Vx,Vy,Vz) і вектор швидкості руху рідини v = (vx,vy,vz) , то
(3.6)3.1.1. Закон Дарсі
Закон Дарсі - основний закон, якому підкоряється рух рідини в пористому середовищі. Французьким інженером Дарсі в 1856 р. експериментально було встановлено, що швидкість фільтрації пропорційна градієнту напору й спрямована убік його зменшення. Якщо ввести поняття напору, що у теорії фільтрації визначається рівністю