Дослідження процесів масопереносу при фільтрації підземних вод (стр. 9 из 16)
(3.7)де p - тиск, ρ щільність рідини, g - прискорення сили ваги, z - геометрична висота над деякою горизонтальною площиною (віссю) порівняння, γ = ρq- питома вага, p/(ρg) - п’єзометричний напір (рівень води в п’єзометрі), тобто у вертикальній трубці, установленої нижнім кінцем у крапці, де виміряється напір (мал. 3.1); то закон Дарсі можна записати у вигляді
рис. 3.1.
(3.8)де ∆h = h2 - h1 - зміна напору на ділянці фільтраційного потоку довжиною ∆L; χ - коефіцієнт пропорційності, називаний коефіцієнтом фільтрації, що має розмірність швидкості фільтрації v; J=∆h/∆L - градієнт напору. У диференціальній формі закон Дарсі був отриманий Н. Е. Жуковським і зазвичай записується у вигляді
. (3.9)У скалярній формі закон Дарсі записується у вигляді
(3.10)До рівняння (3.9) варто ще додати рівняння нерозривності фільтраційного потоку, що виражає закон збереження маси речовини й для недеформуємого середовища й нестисливої рідини (ρ = const) має такий вигляд
. (3.11)Рівняння (3.10), (3.11) з невідомими функціями vx,vy,vzй h утворять повну систему диференціальних рівнянь сталої фільтрації важкої нестисливої рідини. Ця система рівнянь може описувати й несталу або квазівстановлену фільтрацію.
Якщо в рівняння нерозривності замість складових vx, vy, vzпідставити їх вирази, обумовлені рівностями (3.10), то у випадку однорідного середовища (χ = const) одержимо диференціальне рівняння для невідомого напору
. (3.12)яке називається рівнянням Лапласа.
Надалі буде розглядатися тільки плоско-паралельний рух рідини, що може відбуватися або у вертикальній площині (профільна фільтрація), або в горизонтальній площині (планова фільтрація).
3.2. Постановка крайових завдань плоскої фільтрації
Зупинимося на основних рівняннях і постановці крайових задач плоскої (профільної) сталої фільтрації підземних вод в однорідному ізотропному ґрунті. Якщо в якості вертикальної координатної площини вибрати систему координат xOy, причому вісь Oy направити вертикально вниз, то рівняння фільтрації запишеться у вигляді
(3.13)Із цих рівнянь маємо
. (3.14)З огляду на те, що для однорідного ґрунту χ = const, і ввівши функцію
(3.15)яка називається потенціалом швидкості фільтрації, рівняння (3.13) перетвориться до вигляду
(3.16)а рівняння (3.14) перетвориться до вигляду
(3.17)Відшукавши потенціал
, легко обчислити напір h(x,y)і складову швидкості фільтрації.Щоб визначити гармонійну функцію
, тобто функцію, що задовольняє в області фільтрації G рівняння Лапласа, необхідно вирішити це рівняння при додаткових умовах, які виконуються для шуканої функції на границі області.Розглянемо вертикальний поперечний розріз земляної греблі або дамби (мал. 3.2).
рис. 3.2.
Область фільтрації G обмежена контуром ADCDEE1A1, щоскладається з окремих, характерних для границі області фільтрації, ділянок. Вісь Ox сполучена з поверхнею води в тій водоймі, рівень води якого перебуває вище (у розглянутому випадку ця водойма перебуває ліворуч, його змочений контур AB). У результаті наявності різниці рівнів води в "лівому" й "правому" водоймах, величина якої дорівнює H (H - дійсний напір), відбувається повільне просочування води через існуючий вододіл (область фільтрації) з першої водойми в другий. Ділянки границі області фільтрації, де відбувається надходження води з водойми в область фільтрації (ділянка AB) або з області фільтрації у водойму (ділянка DE), називаються водопроникними границями області фільтрації. Ділянки, де височується вода на поверхню ґрунту й стікає по поверхні ґрунту вниз або випаровується, називаються проміжками височування (ділянка CD). Ділянка границі між водоненасиченим й водонасиченим ґрунтом називається кривою депресії або депресивною кривою (ділянка BC). Якщо границя області є водонепроникною (або слабопроникною), то такі ділянки називаються водонепроникними (ділянку A1E1)або водоупором.
Установимо граничні умови на цих ділянках для потенціалу
(x,y). Помітимо, що граничні умови, як і самі рівняння фільтрації, виводяться з фізичних законів або умов, які виконуються на границі області, у якій досліджується розглянутий процес руху підземних вод.Розглянемо на водонепроникній ділянці AB довільну точку M(x,y), де п’єзометричний напір p/γ дорівнює висоті стовпа води над точкою M, тобто дорівнює ординаті y точки M . З огляду на співвідношення (3.15), у цій точці водонепроникної ділянки, а отже, і на всій водонепроникній ділянці AB , маємо
.Для довільної точки N(x,y) водопроникної ділянки DE маємо
.Таким чином, на водопроникних ділянках потенціал приймає постійне значення. Безліч точок, де потенціал задовольняє рівності
(x,y)=const, називається лінією (поверхнею) рівного потенціалу або еквіпотенціальною лінією (поверхнею).На кривої депресії п’єзометричний напір дорівнює нулю (атмосферний тиск і тиск, що відповідає висоті капілярного підняття води в ґрунті звичайно не враховується) і тому на ділянці BC маємо
На проміжку виточування CD , як і на кривій депресії, тиск дорівнює нулю й тому на цій ділянці маємо умову
.На водонепроникних ділянках і на кривій депресії швидкість фільтрації спрямована уздовж цих границь. Лінії, уздовж яких рухається фільтрівна рідина, називаються лініями потоку. Інакше кажучи, лінія, дотична в кожній точці якої збігається з напрямком вектора швидкості фільтрації, називається лінією потоку. Отже, кутовий коефіцієнт дотичної в кожній точці лінії потокузбігається з кутовим коефіцієнтом вектора швидкості фільтрації й тому диференціальне рівняння ліній потоку має вигляд
. (3.18)Очевидно, на лініях потоку, а отже, також на кривій депресії й на водонепроникних ділянках, нормальна складова швидкості фільтрації в будь-якій точці цих ліній дорівнює нулю, тобто
.Зокрема, для горизонтальної водонепроникної ділянки маємо
.Уздовж вільної поверхні (кривій депресії) у загальному випадку, коли має місце інфільтрація або випар рідини, виконуються дві умови (з обліком капілярного pkй атмосферного patтисків)
.Якщо через s позначити довжину дуги депресійної кривої, а через cos(s,x) і cos(s,y) - косинуси кутів, утворених дотичній до кривої депресії відповідно з віссю абсцис і віссю ординат, то, з огляду на останню рівність, можна записати
,де vs,vn - проекції швидкості фільтрації на кривої депресії відповідно на дотичну й нормаль до цієї кривої.
Скориставшись відомими співвідношеннями
умови для дотичній і нормальної складової швидкості фільтрації на кривій депресії можна представити у вигляді
.Виключаючи з останніх рівностей cos(s,x), cos(s,y) одержимо умову для швидкості фільтрації на кривої депресії у вигляді
або
. (3.19)Із цієї умови слідує, що кривій депресії в площині зміни вектора швидкості фільтрації vxOvyвідповідає окружність (або її частина) із центром у точці з координатами
радіусом |χ - ε|/2, причому частина зазначеного круга може проходити двічі.Точне рішення рівняння фільтрації при певних граничних умовах можна одержати тільки в окремих випадках, причому одержання рішень й у цих випадках пов'язане з більшими математичними труднощами, перебороти які вдається як правило, тільки за допомогою методу конформних відображень.