Метод фазового портрета (стр. 2 из 2)
В качестве примера критической точки второго типа рассмотрен фазовый портрет рыбного населения Рыбинского водохранилища. С 1971г. в связи с процессами эвтрофирования и загрязнения водоема в формировании ихтиофауны Рыбинского водохранилища наступил четвертый этап, названный “периодом ухудшения условий” или “дестабилизация”. Возросла амплитуда колебаний уловов рыб и относительной численности отдельных видов, принадлежащих к различным фаунистическим комплексам и экологическим группам. Траектория системы на фазовом портрете имеет вид раскручивающейся спирали, свидетельствующей о ее “разбалансировке” и интенсификации процессов перестройки. Частично это могло быть связано с действием аномально жаркого лета в начале 70-х годов на холодолюбивые виды: снеток и налим. Основной силой, вызвавшей этот процесс, следует считать возрастание в 1970-е годы количества промышленных и сельскохозяйственных стоков, что связано с ростом мощности Череповецкого промышленного узла и увеличением использования удобрений на площади водосбора. Уже в начале 1980-х годов в водохранилище регистрируются случаи локальной гибели рыб.
Для критических точек второго типа отмечается кратковременный всплеск абсолютных значений приращений азимута. Скорость и ускорение реагируют на критические точки существенным одновременным понижением значений.
Таким образом, предложен алгоритм выявления критической точки на основании анализа изменения плавности кривой фазового портрета сообщества гидробионтов. В основе алгоритма лежит изучение динамики приращения азимута при перемещении системы по фазовой траектории. Показано, что в критических точках происходит существенное изменение приращения азимута. При этом каждому типу критической точки соответствует свой тип изменения угла.
В дальнейшем стоит задача создания на основе этого алгоритма информационно-экспертной системы оценки экологической ситуации в водоемах.
3. Методы построения фазовых портретов
Для построения фазовых портретов можно использовать различные методы: метод дифференциальных уравнений, метод изоклин, и др.
Метод дифференциальных уравнений. Сущность метода заключается в том, что по дифференциальным уравнениям отдельных участков нелинейного элемента строят соответствующие фазовые портреты на плоскости.
Метод изоклин - это метод линий постоянного наклона.
4. Метод фазовой плоскости
графоаналитический метод исследования динамических систем, описываемых уравнениями вида:
, 
, где х и у – переменные состояния системы,Р (х, у) и Q (х, у) – функции, удовлетворяющие условиям теорем существования и единственности решений, t – время (независимая переменная). Поведение такой системы можно представить геометрически на плоскости в прямоугольных декартовых координатах. При таком представлении каждому состоянию динамической системы однозначно соответствует точка на плоскости с координатами х, у и, наоборот, каждой точке плоскости соответствует одно, и только одно состояние исследуемой динамической системы. Плоскость Оху называется фазовой плоскостью. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением точки, которую называют фазовой, изображающей или представляющей точкой. Траектория, по которой движется изображающая точка, называется фазовой траекторией; скорость и направление её движения определяются вектором фазовой скорости {Р, Q}. Существенно, что через каждую точку фазовой плоскости проходит только одна фазовая траектория. Совокупность фазовых траекторий называется фазовым портретом системы и отображает совокупность всех возможных сочетаний системы и типы возможных движений в ней.
На фазовой плоскости обычно выделяют следующие три типа фазовых траекторий: особые точки, или положения равновесия, определяемые в результате решения системы уравнений
Р (х, у) = 0, Q (х,y) = 0;
изолированные замкнутые траектории, отвечающие периодическим движениям в системе; сепаратрисы, разделяющие фазовую плоскость на области, заполненные траекториями разных типов. Ф. п. м. состоит в построении фазового портрета системы и последующего анализа этого портрета.