Иоганн Кеплер (стр. 3 из 6)

II. Площади, описываемые радиусами-векторами планет, пропорциональны времени.

Третий закон был опубликован Кеплером позже, в 1619 г., в книге «Harmonices Mundi» («Гармония мира»). Кеплерово сочинение и по форме и по содержанию значительно отличается от многих научных трактатов того времени. Если Коперник, Галилей и Ньютон знакомят нас только с конечными результатами своих научных достижений, то Кеплер совершенно сознательно описывает ход своей работы во всех деталях, включая все неудачи и успехи, ошибки и гениальные догадки, ловушки и их обходы. Почему он так поступает, он объясняет в предисловии: «Для меня важно не просто сообщить читателю, что я должен сказать, но прежде всего ознакомить его с доводами, оговорками, счастливо преодоленными опасностями, которые привели меня к моим открытиям. Когда Христофор Колумб, Магеллан и португальцы, из которых первый открыл Америку, второй Китайский океан, а последние — морской путь вокруг Америки, повествуют, как они сбивались с пути и блуждали в своих путешествиях, мы не только прощаем им это, но, более того, мы не желаем пропуска этих рассказов, так как тогда при чтении было бы потеряно впечатление о всем значительном в их предприятиях. Пусть же поэтому и мне не поставят в вину, когда я, вызывая у читателя интерес, пойду подобным путем в своем изложении. Конечно, при чтении, например похождений аргонавтов, мы сами не принимаем участия в их злоключениях, а трудности и тернии на моем мысленном пути могут задеть и самого читателя, но таков уж жребий всех математических сочинений».

Кеплер начал свое исследование составлением на основании наблюдений Тихо Браге полного списка моментов, долгот и широт для всех противостояний планеты Марс с 1580 г. (Браге наблюдал противостояния Марса десять раз с 1580 по 1600 г., два раза — в 1602 и 1604 гг. их наблюдал Кеплер). Еще Коперник, следуя Птолемею, считал центр земной орбиты истинным центром орбит всех планет. Браге также определял противостояние планеты как положение, противоположное этой точке, т. е. так называемому «среднему Солнцу». Кеплер уже в «Космографической тайне» указывал, что Солнце само является естественным центром планетной системы, и считал, что противостояние следует брать по отношению к реальному, а не к среднему Солнцу. Это было первым существенным нововведением в методы исследования.

Кеплер впервые предположил, что движение планет происходит вследствие воздействия на них некоей силы, исходящей от Солнца. Таким образом, у Кеплера Солнце становится не только источником света и тепла для всей планетной системы, но также и источником движущей планеты силы.

Второе нововведение Кеплера заключалось в следующем. Орбиты всех планет лежат не совсем в одной плоскости — их плоскости образуют одна с другой небольшие углы (например, плоскости орбит Земли и Юпитера составляют угол в 1°18,5'). Если не учесть этот факт, приходится встречаться с большими затруднениями при объяснении некоторых особенностей в наблюдаемых с Земли положениях Марса. Коперник, например, считал, что плоскость орбиты Марса колеблется в пространстве, не интересуясь физической причиной такого странного явления. Предположив, что дело здесь в наличии некоторого постоянного угла между плоскостями планетных орбит, Кеплер без особого труда, по данным наблюдений Браге, убеждается в правильности своей гипотезы и находит угол между плоскостями орбит Земли и Марса равным 1°50'.

Третье нововведение Кеплера более радикально. От Платона и Птолемея до Коперника и Браге астрономы были уверены в том, что планеты совершают свои круговые движения с равномерной скоростью. Кеплер, сохраняя на первых порах движение круговым, отбрасывает аксиому равномерного движения. И при этом он руководствуется прежде всего физическими соображениями: если Солнце управляет движением, является его источником, то его сила должна действовать на планету более интенсивно, когда она находится ближе к источнику, и менее интенсивно, когда планета от него удалится, следовательно, планета будет двигаться с большей или меньшей скоростью в зависимости от ее расстояния до Солнца. Эта идея была не только отрицанием античной традиции, она отвергала и предположение Коперника, по которому не могло быть, « ... чтобы простое небесное тело неравномерно двигалось одной сферой ... ». Коперник был в свою очередь решительно не согласен с учением Птолемея о том, что планеты движутся равномерно не вокруг центров своих орбит, а вокруг воображаемой точки на некотором расстоянии от центра. Эта точка называлась punctum aequans или aequant (уравнивающей точкой, или эквантом). Коперник, отказавшись от птолемеевых эквантов, ввел вместо них добавочные эпициклы. Кеплер, отбрасывая догму равномерного движения, возвратился к понятию экванта, рассматривая его как важное вычислительное средство.

Этими нововведениями Кеплер несколько облегчил предстоящее решение своей задачи. Кеплер писал: «Ох, сколько я должен был пролить слез над трогательным старанием Апиана, который, следуя Птолемею, зря тратил свое драгоценное время и изобретательность на построение спиралей, петель, винтовых линий, завитков и целого лабиринта инволюций, чтобы изобразить то, что существует только в воображении и которое природа отказывается принять как свое подобие».

Рис. 3

Первая попытка решить задачу описывается Кеплером в XVI главе «Новой астрономии». Его задача состояла прежде всего в определении некоторых параметров орбиты Марса, которую, напомним, Кеплер пока еще полагал круговой. Нужно было определить радиус орбиты (см. Рис. 3), направление по отношению к неподвижным звездам линии аспид, т.е. оси, соединяющей точку, в которой планета бывает ближе всего к Солнцу (перигелий), и противоположную ей точку (афелий), а также положение Солнца (S), центра орбиты (C) и экванта (Е), которые лежат на этой оси. Из журналов наблюдений Тихо Браге, которыми он теперь располагал, он выбрал запись о четырех наблюдавшихся противостояниях Марса — в 1587, 1591, 1593 и 1595 гг. В самом начале своих вычислений Кеплер по рассеянности допускает несколько ошибок, которые должны были бы существенно повлиять на правильность вычислений. Кеплер так и не заметил их до конца своей работы, но их обнаружил французский историк астрономии Деламбр. Тем не менее исправленные Деламбром вычисления в результате дали почти те же значения — оказалось, что в самом конце вычислений Кеплер при делении снова допустил ошибки, перекрывшие первые! В результате вычислений Кеплер получил полный эксцентриситет, равный 0,18564 долям радиуса, причем Солнце отстоит от центра на 0,11332, а эквант — на 0,07232 доли радиуса (современная теория показывает, что оба расстояния должны быть приблизительно равны 0,5625 и 0,4375 полного эксцентриситета; значения, полученные Кеплером — 0,6104 и 0,3896 соответственно). Долгота афелия для 1587 г. составляла 148°48’55’’. Полученные им значения при подстановке в данные десяти наблюдений Браге расходились менее чем на 2’, что было вполне допустимым.

Однако уже следующая глава начинается удивленным возгласом: «Как же это могло быть? Гипотеза, которая хорошо согласуется с наблюдениями противостояний, все же ошибочна». И в двух последующих главах Кеплер обстоятельно объясняет, как он установил, что гипотеза ложна и почему ее нужно отвергнуть. Пытаясь применить свою модель к вычислению промежуточных положений Марса по данным наблюдений Браге, Кеплер обнаруживает расхождение теории с практикой, достигающей в численном выражении 8’.

Следующий этап исследований Кеплер описывает в книге третьей. Многократные вычисления говорят Кеплеру о том, что невозможно построить круговую орбиту планеты, полностью соответствующую данным наблюдений. Окружность полностью определяется заданием трех точек на ней, любая другая кривая линия требует знания положения большего количества точек на ней. Для определения формы орбиты Марса, копь скоро она не была окружностью, требовалось прежде всего уточнить орбиту небесного тела, на котором размещен наблюдатель, т. е. самой Земли. Ведь из неправильного представления о движении наблюдателя выводы о движении наблюдаемых объектов будут тоже неверны. Если бы было возможно в каждый момент времени находить непосредственно величину отрезка Земля — Солнце. Но такой возможности у Кеплера не было. Другой принципиально возможный случай заключается в выборе в пространстве некоторого неподвижного ориентира о котором известно, что он в течение длительного времени сохраняет свое положение неизменным. Тогда земные наблюдатели могли бы при необходимости визировать направление на него.

Рис. 4

Допустим, что в определенный момент времени Земля (З) находится на прямой, соединяющей Солнце (С) с нашим ориентиром М (см. Рис. 4). Если в это время визировать с Земли направление на ориентир М, то получим направление СМ (Солнце—ориентир). Пусть это направление зафиксировано на небесном своде. Рассмотрим положение Земли в другой момент (З₁). Если и Солнце (С) и ориентир М видны с Земли (З₁) то в треугольнике СЗ₁М известен угол a = СЗ₁М. Направление прямой СМ относительно неподвижных звезд определено раз и навсегда. Но теперь, установив направление на Солнце З₁С прямым наблюдением, можно определить и угол b = З₁СМ. Следовательно, треугольник СЗ₁М может быть теперь построен по стороне СМ и двум углам a и b для каждого положения З₁ и при этом определится это самое положение З₁ относительно заданного базиса СМ. Таким образом можно получить необходимое число точек, принадлежащих орбите Земли.