Иоганн Кеплер (стр. 5 из 6)

Задачи из «Новой астрономии» были лишь первым его шагом в развитии математики переменных величин. Следующим шагом была книга «Nova stereometria doliorum vinariorum... accesit Stereometriae Archimedae Supplementum» («Новая стереометрия винных бочек... с присоединением дополнения к Архимедовой стереометрии»). Книга эта заняла видное место в истории математики и, кстати, является единственным произведением Кеплера, полностью переведенным на русский язык. Книга вышла в Линце в 1615 г., но написана она была почти на два года раньше, и послужил этому весьма любопытный повод, известный по словам самого Кеплера. Осенью 1613 г. в Верхней Австрии был собран особенно обильный урожай винограда. Многочисленные суда и баржи, груженные вином, уходили вверх по Дунаю, а пристань в Линце все еще была забита бочками. Кеплер как решил запастись приятным напитком. Бочки с вином были доставлены к нему на двор, а затем появился купец и с помощью единственного инструмента — мерной линейки, стержня с делениями, быстро измерил количество вина в каждой из бочек без всяких вычислений и учета формы бочек. Он вставлял линейку в наливное отверстие бочки вплоть до упора в нижний край днища, после чего объявлял количество амфор (сосудов, принятых за меру емкости) в ней. Кеплер был очень удивлен этим: каким образом наклонный отрезок между двумя определенными точками может служить мерой вместимости бочки. Он даже усомнился в правильности такого метода измерения, так как представлялось, что очень низкая, ограниченная широкими днищами, бочка могла иметь такое же расстояние до нижней точки днища, как и более высокая бочка с менее широкими днищами. Обоснованно ли такое определение вместимости? Тем более Кеплер вспомнил, что севернее, на Рейне, вместимость бочек определялась либо непосредственным подсчетом количества единиц меры емкости при переливании, либо производили многочисленные замеры размеров бочки, после чего в результате громоздких и утомительных вычислений объявляли ее емкость, хотя многим этот способ казался ненадежным.

Узнав, что употребление мерной линейки санкционируется здесь властями, Кеплер «счел для себя подходящим взять новый предмет математические занятий и исследовать геометрические законы такого удобного и крайне необходимого в хозяйстве измерения, а также выяснить его основания, если таковые имеются». Уже к концу того же года после нескольких недель работы было готово сочинение о результатах этого исследования, и Кеплер отправил его для издания в Регенсбург, так как в это время в Линце еще не было ни одной типографии. Однако издатель, к которому Кеплер обратился, вскоре сообщил, что, по мнению книгопродавцев, предложенное Кеплером сочинение, к тому же написанное на латинском языке, пользоваться спросом не будет, и субсидировать издание отказался. Рукопись надолго застряла в Регенсбурге, и Кеплер вспомнил о ней только тогда, когда при его участии весной 1615 г. в Линце была создана типография. Не без затруднений (издатель, которому была направлена рукопись, к тому времени умер) удалось разыскать и вернуть рукопись в Линц. Кеплер подвергает ее существенной переработке, а также дописывает новую, очень важную главу «Дополнения к Архимеду». Уже осенью 1615 г. «Новая стереометрия винных бочек» — первая книга, напечатанная в Линце, поступила в продажу на ярмарке в крупнейшем тогдашнем центре книготорговли — Франкфурте.

Ее издание было предпринято Кеплером за свой счет. Пытаясь хотя бы частично покрыть понесенные расходы, он обращается к своим друзьям с просьбой рекомендовать его книгу заинтересованным лицам и учебным заведениям. О спросе на математическую литературу в то время свидетельствует письмо к Кеплеру Гданьского математика Крюгера, в котором он пишет, что во всей округе видит лишь трех потенциальных покупателей: своего кёнигсбергского коллегу, кёнигсбергскую библиотеку и некоего дворянина по фамилии Невешинский.

Местные власти отнеслись к проделанной Кеплером работе весьма холодно, недвусмысленно дав ему понять, что было бы лучше «эту работу оставить, а довести до конца более важные вещи, такие, как порученные ему «Рудольфинские таблицы» и географическую карту». Однако Кеплер не внял этому весьма категорическому совету и взялся за переделку своей книги, ставя на этот раз целью сделать ее доступной для широких кругов людей, нуждающихся в разработанных им приемах в своей практической деятельности, но не знающих латыни и не разбирающихся в тонкостях математики. С этой целью Кеплер упрощает изложение, меняет последовательность расположения материала, прилагает сведения о системах мер, древних и употреблявшихся в то время, а также таблицы их перевода из одной в другую, но главное — он переводит свое сочинение на немецкий язык. Последнее обстоятельство было очень важным, поскольку научных книг на немецком языке тогда издавалось мало, а математическая терминология почти не была разработана. Поэтому значение появившейся уже весной 1616 г. на книжной ярмарке во Франкфурте книги под названием: «Ausszug auss der uralten Messekunst Archimedis», т. е. «Извлечения из древнего искусства измерения Архимеда...», состоит не только в привлечении внимания к возможностям математических методов широких слоев населения, но и в выполненной здесь большой работе по созданию немецкой математической терминологии. Этим самым, а также изданием нескольких трактатов астрономического содержания на родном языке (и подготовкой нескольких рукописей, оставшихся неизданными) Кеплер внес существенный вклад в развитие языка немецкой естественнонаучной литературы.

Книга «Новая стереометрия» состояла из трех частей. В предисловии Кеплер пишет: «Поскольку... винные бочки связаны с кругом, конусом и цилиндром — фигурами правильными — тем самым они поддаются геометрическим измерениям, принципы которых стоит привести в начале настоящего исследования, как они установлены Архимедом, конечно лишь настолько, насколько этого достаточно для удовлетворения ума, любящего геометрию, а полные и во всех частях строгие доказательства следует искать в самих книгах Архимеда, если кто не убоится тернистого пути их чтения. Впрочем, на некоторых мостах, которые не затронул Архимед, нужно остановиться поподробнее, чтобы и более ученые люди нашли чем воспользоваться и чему порадоваться». Таким образом Кеплер подчеркивает, что в силу практической направленности своего труда он не задерживается на положениях своего великого предшественника, отсылая более требовательных читателей к первоисточникам, но здесь же он говорит и о том, что выходит за пределы достигнутого Архимедом.

Рис. 6

Первая часть сочинения, озаглавленная «Стереометрия правильных кривых тел», в свою очередь состоит из двух частей, в первой из которых — «Архимедовой стереометрии» Кеплер приводит 16 теорем, известных еще Архимеду, но различие в подходе Кеплера и подходе Архимеда к решению соответственных задач становится заметным с самого начала. Остановимся на примере с площадью круга. Произведение Архимеда «Измерение круга» начинается следующим предложением: «Всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника». Это предложение Архимед доказывает косвенно (методом исчерпывания), показывая с помощью вписанных и описанных правильных многоугольников, что площадь круга будет не больше и не меньше площади указанного треугольника.

Кеплер рассуждает так: «Архимед пользуется косвенным доказательством, приводящим к невозможности, о чем многие и многие писали. Мне же кажется, что смысл этого [доказательства] следующий: окружность круга содержит столько же частей, сколько точек, именно, бесконечное число. Каждую из них рассмотрим как основание некоторого равнобедренного треугольника со стороной АВ, и таким образом в площади круга окажется бесконечное множество треугольников, соединенных вершинами в центре А. Пусть, далее, окружность круга вытянута в прямую, и пусть ей равна ВС, а АВ к ней перпендикулярна (см. Рис. 6). Тогда основания всех этих бесчисленных треугольников, или секторов, будут представляться расположенными друг за другом по прямой ВС; пусть одно из таких оснований будет BF, и какое-нибудь равное ему — DЕ. Соединим точки F, Е, D с А. Таких треугольников ABF, АDЕ над прямой ВС получится столько же, сколько секторов в площади круга, и их основания BF, DЕ и общая высота АВ будут такие же, как у секторов; следовательно, все эти треугольники ABF, АDЕ и т. д. будут равновелики (между собой) и каждый из них будет равновелик соответствующему сектору круга. А значит, и все вместе эти треугольники, имеющие основания на линии ВС, т. е. треугольник ABC, всеми ими составленный, будет равновелик сумме всех секторов круга, т. е. составленной ими площади круга. Это самое и имеет в виду архимедово приведение к нелепости». Архимед действительно мог иметь это в виду. Но учитывая, что между элементарным круговым сектором и элементарным треугольником имеется то различие, что дуга в основании сектора и радиус круга будут при конечном n всегда больше соответственных линий элементарного треугольника, для точности вывода следует показать, что разность между площадями круга и треугольника при увеличении числа делений может стать действительно меньше любого данного сколь угодно малого числа (т. е. что эта разность представляет собой бесконечно малое). Архимед своими рассуждениями это показывает, Кеплер — нет. У Кеплера хорды окружности переходят в точки, каждая из которых продолжает рассматриваться как основание некоторого равнобедренного треугольника. Получается, что площадь круга рассматривается Кеплером как какая-то сумма всех радиусов, а треугольника — как совокупность точек всех прямых, выходящих из одной из его вершин.