Излагая задачи из сочинений Архимеда, Кеплер не пользуется архимедовыми методами доказательств, а применяет суммирование бесконечно большого числа «актуализированных» бесконечно малых. Кеплер говорит, что шар «как бы» содержит бесконечно много конусов, вершины которых лежат в центре, а основания — на поверхности шара, и находит таким образом его объем. Вообще из его неоднократного «как бы» («veluti») видно, что он не стремится дать точное доказательство, а апеллирует только к наглядности. В некоторых местах Кеплер отказывается от доказательств Архимеда, называя их чрезвычайно глубокими, но трудными для понимания, и вместо них приводит рассуждения, которые устанавливают «вероятность» того или другого предложения из соображений индуктивного или интерполяционного характера.
Так Кеплеру удалось преодолеть недостатки метода исчерпывания древних. Ему, разумеется, не было известно содержание архимедового «Послания к Эратосфену», обнаруженного только в 1906 г. Из «Послания» становится ясно, что и Архимед пользовался инфинитезимальньми соображениями, довольно близкими к кеплеровым.
Кеплер, как его современник Кавальери и другие более поздние математики XVII в. (например, Паскаль), часто употреблял выражение «Summa omnium» — «сумма всех» (сумма всех радиусов-векторов, сумма всех ординат), которое выполняло тогда роль нашего термина «интеграл». Кстати, как известно, знак интеграла (удлиненная буква S) был введен Лейбницем в конце XVII в. именно для сокращенной записи выражения «Summa omnium».
Во второй половине первой части своей работы — в «Дополнениях к Архимеду» — Кеплер показывает, что его способ оказывается очень удобным для решения многих новых задач. Так, в теореме 18, например, он легко устанавливает, что объем тора равен объему цилиндра, основанием которого служит меридиональное сечение тора, а высотой — длина окружности, описываемой центром образующего тор круга. Кеплер доказывает это так: меридиональными сечениями тор разбивается на бесконечно большое число кружочков, толщина которых у внешнего края тора больше, чем у внутреннего, но толщина кружочка в центральной части равна среднему арифметическому толщин у краев. Поэтому Кеплер принимает, что объем такого кружочка равен объему цилиндра, высота которого равна толщине центральной части кружка, а в основании лежит образующий тор круг. При этом тор и цилиндр, о которых говорится в условии теоремы, разбиваются на равное число равновеликих частей, этим и доказывается теорема. В следующем, более сложном примере определяется объем «яблока». Так называет Кеплер тело, образуемое сегментом, большим, чем полукруг, при его вращении вокруг хорды. Остроумным перераспределением деформированных без изменения объема долей «яблока», образованных по одному способу меридиональными сечениями данного тела вращения, проходящими через его ось, так называемую хорду сегмента, а по другому — тонкими концентрическими цилиндрическими слоями, имеющими осью хорду сегмента и развернутыми в прямоугольники, Кеплер получает тело, представляющее собой «цилиндрическое копыто» — цилиндрический сегмент, основанием которого является образующий «яблоко» сегмент, а высота равна длине окружности экватора данного тела вращения.
Рассмотрев в теоремах 18—22 вопросы о нахождении объемов тора, «яблока» и «лимона» («лимоном» названа тело, образуемое вращением сегмента, меньшего, чем полуокружность, вокруг хорды), Кеплер находит далее объемы и других тел, получаемых при вращении различным образом расположенных отрезков дуг конических сечений — эллипса, параболы и гиперболы. Всего сам Кеплер насчитывает 92 формы таких тел, многим из которых он приписывает меткие названия: «айва», «слива», или «олива», «земляника», «груша» и т. д.
Вторая часть его книги, названная «Специальная стереометрия австрийской бочки», начинается рассуждением о геометрической форме бочек. Он указывает, что в первом приближении бочку можно рассматривать как цилиндр, или как два усеченных конуса, сложенных большими основаниями. Более точно форма бочек соответствует среднему слою либо лимона, образованного сегментом круга, либо сливы, образованной частью эллипса, либо параболического веретена, остающемуся после отсечения, равных частей с обеих сторон.
Далее Кеплер рассматривает зависимость между объемом бочек и длиной замеряемого отрезка и отношения большего диаметра (в среднем сечении) к меньшему. Но главный интерес для нас представляет то, что Кеплер занимается здесь исследованием формы конусов, цилиндров, а также бочек, обладающих наибольшей вместимостью при наименьшей затрате на них материала, что приводит его уже к задачам другого важнейшего раздела исчисления бесконечно малых — дифференциального исчисления: к определению максимумов и изопериметрической задаче. Кеплер правильно отмечает основной признак максимума в том, что, как он пишет, разница между самим максимумом и непосредственно предшествующими или последующими значениями незаметна.
В третьей части книги («Употребление всей книги о бочках») Кеплер дает практические рекомендации по измерению объемов бочек, пытается найти способ для определения с помощью мерного стержня «отношения пустой части к остатку жидкости при лежащей бочке», но в общем виде решение этой задачи ему не удается. Хотя инфинитезимальные работы Кеплера фактически открыли новую эпоху, новый период в развитии математики, они не были сначала правильно оценены многими его современниками. Некоторые математики резко выступили против его «нестрогих» методов определения объемов, против его метода суммирования бесконечно малых. Ученик Виеты шотландец А. Андерсон уже через год после появления «Стереометрии» издал специальное сочинение «В защиту Архимеда», где обвинял Кеплера в оскорблении памяти великого ученого. Они не понимали, что при всей нестрогости методов Кеплера, очевидной и для него самого, эти методы были весьма продуктивны и перспективны.
Таким образом, рассмотренные работы Кеплера положили начало целому потоку исследований, увенчавшихся в последней четверти XVII в. Оформлением в трудах И. Ньютона и Г. В. Лейбница дифференциального и интегрального исчисления.
Список использованной литературы:
1. Белый, Ю.А. Иоганн Кеплер. Изд. «Наука». М. 1971
2. Веселовский, И.Н. Очерки по истории теоретической механики. Изд. «Высшая школа». М. 1974
3. Григорьян, А.Т. Механика от античности до наших дней. Изд. «Наука». М. 1974
4. Кудрявцев, П.С. История физики и техники. М. 1960
5. Моисеев, Н.Д. Очерки развития механики. Изд. Московского Университета. 1961
6. Спасский, Б.И. История физики. Изд. Московского Университета. 1956