Методичні вказівки до виконання розрахунко роботи дослідження за допомогою еом коливань системи (стр. 2 из 4)

Складемо вираз кінетичної енергії системи в її довільному положенні, враховуючи, що тіло 1 виконує поступальний рух, а тіла 2 і 3 – обертальний рух; при цьому швидкості усіх тіл виразимо через узагальнену швидкість

:

;

; ; ; ;

= .

У виразі

та - моменти інерції тіл 2 і 3 відносно центральної осі.

Позначимо коефіцієнт

= , де - зведена маса системи. Тоді:

. ( )

Складемо вираз потенціальної енергії системи:

, де - потенціальна енергія сил ваги, а - потенціальна енергія сил пружності, що діють на тіла системи.

Обчислемо потенціальну енергію системи в її довільному положенні як роботу потенціальних сил на переміщенні системи із довільного положення в положення статичної рівноваги:

;

,

де

; ;

тут

, - статичні подовження пружин; , - зміна довжини відповідної пружини при відхиленні системи від стану статичної рівноваги; , - подовження пружини в довільному положенні системи.

Врахуємо, що

, = , а в стані статичної рівноваги .

Вираз потенціальної енергії системи та її похідної мають вигляд:

;

.

При рівновазі системи (

) маємо:

, тобто .

Тоді вираз потенціальної енергії системи приймає вигляд:

= , ( )

де

= .

Функцію розсіювання

будемо вважати залежною від узагальненої швидкості , а її похідну представимо у вигляді:

,

де

- коефіцієнт в’язкості (дисипативний коефіцієнт).

До непотенціальних сил, що діють на систему, відноситься тільки збурююча сила

, можлива робота якої ; тоді

.

Візьмемо відповідні похідні і складемо рівняння Лагранжа для заданої системи:

; ; 0; ;

= ;

;

;

;

, ( )

де

і .

Диференціальне рівняння ( ) представляє собою неоднорідне диференціальне рівняння другого порядку відносно узагальненої координати

зі сталими коефіцієнтами.

Рішення задачі про дослідження вимушених коливань системи зводиться до рішення цього диференціального рівняння при заданих початкових умовах задачі. Оскільки у розглянутому випадку рух системи починається із стану статичної рівноваги, то початкові умови будуть нульовими:

при

: ; . ( )

Як відомо, аналітичне рішення рівняння ( ) складається із суми двох рішень

, де - загальне рішення однорідного рівняння, - частинне рішення неоднорідного диференціального рівняння.

Слід зауважити, що рішення

в даному випадку (при відповідному підборі коефіцієнта ) практично згасає через . Тоді получається, що при .

Визначимо чисельні значення параметрів системи та коефіцієнтів в рівнянні ( ):

= = 0,2 + 0 + = 0,2 + 0,056 = 0,256т;

= = + 10 = 3,56 + 10 = 13,6кН^.м ^–1;