Экзаменационные билеты по аналитической геометрии за первый семестр 2001 года (стр. 1 из 5)
примерный перечень экзаменационных вопросов
Аналитическая геометрия
1. Линия на плоскости. Ее уравнение в декартовой системе координат. Текущие координаты произвольной точки линии.
2. Уравнение первой степени относительно x, y. Общее уравнение прямой на плоскости Oxy.
3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Условия параллельности и перпендикулярности прямых, заданных уравнениями с угловыми коэффициентами.
4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.
5. Уравнение прямой на плоскости, проходящей через две заданные точки.
6. Уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору или каноническое уравнение прямой.
7. Уравнение прямой на плоскости по точке и нормальному вектору.
8. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы направляющие векторы.
9. Условие параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости, у которых заданы нормальные векторы.
10. Угол наклона между прямыми на плоскости, заданными уравнениями с угловым коэффициентом.
11. Определения точек пересечения прямых на плоскости по формулам Крамера.
12. Вычисление определителей второго и третьего порядков.
13. Какое уравнение называют уравнением данной поверхности.
14. Общее уравнение плоскости.
15. Уравнение плоскости по нормальному вектору и заданной точке.
16. Уравнение плоскости в отрезках.
17. Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.
18. Правая тройка векторов. Векторное произведение двух векторов.
19. Смешанное произведение трех векторов.
20. Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.
21. Прямая в пространстве, заданная пересечением двух плоскостей.
22. Параметрическое уравнение прямой в пространстве.
23. Каноническое уравнение прямой в пространстве.
24. Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две заданные точки.
25. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.
26. Угол между плоскостью и прямой в пространстве.
27. Условие параллельности прямой и плоскости в пространстве.
28. Условие перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве.
29. Переход от одного способа задания прямой к другому (на примерах).
30. Уравнение второй степени на плоскости. Какую линию называют кривой второго порядка на плоскости?
31. Уравнение эллипса, гиперболы и параболы на плоскости.
32. Какое уравнение называют уравнением второго порядка в пространстве?
33. Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?
34. Вырожденные поверхности второго порядка.
35. Невырожденные поверхности второго порядка и их канонические уравнения.
36. Метод параллельных сечений.
37. Эллипсоид, его полуоси. Исследование его формы.
38. Однополостный гиперболоид, его полуоси. Исследование его формы.
39. Гиперболический параболоид, его параметры и форма.
40. Какая поверхность называется поверхностью вращения?
41. Двухполостный гиперболоид вращения, его форма.
42. Эллиптический параболоид вращения и его форма.
43. Конус вращения и его вид.
44. Канонические уравнения двухполостного гиперболоида, конуса, эллипсоида и эллиптического параболоида с осью вращения Oz; Ox; Oy.
45. Цилиндры второго порядка. Их уравнение. Типы цилиндров. Их форма.
46. Линейчатые поверхности второго порядка.
47. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при параллельном сдвиге осей.
48. Напишите формулы преобразования декартовых прямоугольных координат в пространстве при повороте вокруг оси Оz на угол a.
49. Приведение к каноническому виду уравнения поверхности второго порядка с центром в начале координат.
50. Какое уравнение является характеристическим для квадратичной формы?
51. Какие числа называются характеристическими числами квадратичной формы?
52. Приведение к каноническому виду общего уравнения поверхности второго порядка.
53. Можно ли установить тип поверхности, зная характеристические числа?
54. Найти точку пересечения прямых 3х - 4у + 10 = 0 и х + 5у – 3 = 0, используя формулы Крамера.
55. Докажите, что две прямые на плоскости параллельны, если
= (2, 5) и 
= (-4, -10) - их направляющие векторы.56. Докажите, что две прямые на плоскости перпендикулярны, если
= (-2, 3) и 
= (3, 4) - их нормальные векторы.57. Из точки (3, -2, 4) опустить перпендикуляр на плоскость 5х + 3у - 7z + 1= 0.
58. Найти координаты основания перпендикуляра, опущенного из точки С(0,5) на прямую, проходящую через точки A(0, 1) и B(3, 3).
59. При каком значении a прямая
будет лежать на плоскости 3x – y – z – 3 = 0?60. Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора
= (1, 6, 0) и вектора (1, -1, -1).61. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М (3, 0, 2).
62. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и точку М(3, 0, 2).
63. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через начало координат.
64. Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.
65. Найти направляющий вектор прямой:
.66. Найдите уравнение плоскости, проходящей через три данные точки: М1(0, 0, 0), М2(2, -1, 2), М3(0, -1, 1).
67. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов
= (1, 2, 3), = (-1, 2, 4), 
= (1, 1, 0).68. Меридиан 4x2 - z2 = 4 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
69. Меридиан 2y = x2 вращается вокруг оси Оy. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
70. Меридиан
= -1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?71. Меридиан x2 + z2 = 16 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?
72. Докажите, что прямая
лежит на гиперболоиде 
.73. Найдите точки пересечения прямой:
и сферы х2 + у2 + z2 = 100.74. С помощью какого преобразования координат приводится к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
? Как называется эта поверхность?75. Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид
?76. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 4x2 – y2 – z2 – 4xz =2?
77. По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 5x2 + 2y2 + z2 + 2xz = 5?
78. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 5x2 + 2y2 + 7z2 – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.
79. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка 8x2 + 2y2 + 5z2 + 4yz = 48. Определить вид этой поверхности.
80. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка x2 + y2 + 2z2 – 8xy – 6xz + 24 = 0. Определить вид этой поверхности.
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 1
1. Какое число называется смешанным произведением трех векторов
, , ?2. С помощью определителя третьего порядка найти смешанное произведение трех векторов
= (1, 1, 3), = (-1, 0, 4), = (2, 1, 0).3. Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.
4. Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
х = 1 пересекает гиперболоид
+ у2 - z2 = 1? Напишите уравнение этого сечения.5. Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х2 + 3у2 - z2 + 6zу - 4 = 0.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Билет № 2
1. Как вычисляется определитель третьего порядка
? Вычислить определитель третьего порядка
.