где
Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным (
Пример. Линеаризация нелинейного ДУ.
3xy - 4x2 + 1,5
Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х0 = 1,
3у0 - 4 + 0 = 0 + у0 откуда у0 = 2.
Введем в рассмотрение функцию
F = 3xy - 4x2 + 1,5x’y - 5y’ - y
и определим все ее производные при заданных начальных условиях:
Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:
-5.Dy’ + 2.Dy + 3.Dх’ - 2.Dх = 0.
¨
2.5. Преобразования Лапласа.
Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида
где х и у - входная и выходная величины. Если в данное уравнение вместо x(t) и y(t) подставить функции X(s) и Y(s) комплексного переменного s такие, что
то исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно линейному алгебраическому уравнению
a2 s2 Y(s) + a1 s Y(s) + a0 Y(s) = b1 X(s) + b0 X(s).
Такой переход от ДУ к алгебраическому уравнению называется преобразованием Лапласа, формулы (2.2) соответственно формулами преобразования Лапласа, а полученное уравнение - операторным уравнением.
Новые функции X(s) и Y(s) называются изображениями x(t) и y(t) по Лапласу, тогда как x(t) и y(t) являются оригиналами по отношению к X(s) и Y(s).
Переход от одной модели к другой достаточно прост и заключается в замене знаков дифференциалов
Для обратного перехода от операторного уравнения к функциям от времени используется метод обратного преобразования Лапласа. Общая формула обратного преобразования Лапласа:
где f(t) - оригинал, F(jw) - изображение при s = jw, j - мнимая единица, w - частота.
Эта формула достаточно сложна, поэтому были разработаны специальные таблицы (см. табл. 1.1 и 1.2), в которые сведены наиболее часто встречающиеся функции F(s) и их оригиналы f(t). Они позволяют отказаться от прямого использования формулы (2.3).
Таблица 1.2 - Преобразования Лапласа
Оригинал x(t) | Изображение X(s) |
d-функция | 1 |
1 | |
t | |
t2 | |
tn | |
e-at | |
a.x(t) | a.X(s) |
| |
x(t - a) | X(s).e-as |
| sn.X(s) |
| |
Таблица 1.2 - Формулы обратного преобразования Лапласа (дополнение)
Изображение X(s) | Оригинал x(t) | |
| a Î R, M Î R (a и М - действительные числа) | M.e-at |
a = a1 + j. a2 M = M1 + j.M2 (a и М - комплекные) | 2.e-a1t.[M1.cos(a2.t) - M2.sin(a2.t)] |
Закон изменения выходного сигнала обычно является функцией, которую необходимо найти, а входной сигнал, как правило, известен. Некоторые типовые входные сигналы были рассмотрены в п. 2.3. Здесь приводятся их изображения:
единичное ступенчатое воздействие имеет изображение X(s) =
дельта-функция X(s) = 1,
линейное воздействие X(s) =
Пример. Решение ДУ с использованием преобразований Лапласа.
Допустим, входной сигнал имеет форму единичного ступенчатого воздействия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) =
Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем X(s):
s2Y + 5sY + 6Y = 2sX + 12X,
s2Y + 5sY + 6Y = 2s
Y(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Определяется выражение для Y:
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в виде s(s + 2)(s + 3):
=
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными: