Управление техническими системами лекции (стр. 5 из 17)
2.6.4 Передаточные функции АСР.
Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к простейшему стандартному виду «объект - регулятор».Это необходимо, во-первых, для того, чтобы определить математические зависимости в системе, и, во-вторых, как правило, все инженерные методы расчета и определения параметров настройки регуляторов применены для такой стандартной структуры.
В общем случае любая одномерная АСР с главной обратной связью путем постепенного укрупнения звеньев может быть приведена к такому виду.
Если выход системы у не подавать на ее вход, то мы получим разомкнутую систему регулирования, передаточная функция которой определяется как произведение:
W¥ = Wp.Wy
(Wp - ПФ регулятора, Wy - ПФ объекта управления).
То есть последовательность звеньев Wp и Wy может быть заменена одним звеном с W¥. Передаточную функцию замкнутой системы принято обозначать как Ф(s). Она может быть выражена через W¥:Фз(s) =
= 
.(далее будем рассматривать только системы с обратной отрицательной связью, поскольку они используются в подавляющем большинстве АСР).
Данная передаточная функция Фз(s) определяет зависимость у от х и называется передаточной функцией замкнутой системы по каналу задающего воздействия (по заданию).
Для АСР существуют также передаточные функции по другим каналам:
Фe(s) =
= 
- по ошибке,Фв(s) =
= 
- по возмущению.Поскольку передаточная функция разомкнутой системы является в общем случае дробно-рациональной функцией вида W¥ =
, то передаточные функции замкнутой системы могут быть преобразованы:Фз(s) =
= 
, Фe(s) = 
= 
.Как видно, эти передаточные функции отличаются только выражения ми числителей. Выражение знаменателя называется характеристическим выражением замкнутой системы и обозначается как Dз(s) = A(s) + B(s), в то время как выражение, находящееся в числителе передаточной функции разомкнутой системы W¥, называется характеристическим выражением разомкнутой системы B(s).
2.6.5 Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой.
Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.
Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта ступенчатого воздействия была получена переходная характеристика (см. рис. 1.26). Требуется определить вид и параметры передаточной функции.
Предположим, что передаточная функция имеет вид 
,(инерционной звено с запаздыванием).
Параметры передаточной функции:
К - коэффициент усиления,
Т - постоянная времени,
t - запаздывание.
Коэффициентом усиления называется величина, показывающая, во сколько раз данное звено усиливает входной сигнал (в установившемся режиме), и равна отношению выходной величины у в установившемся режиме ко входной величине х:
,Установившееся значение выходной величины ууст - это значение у при t ® ¥.
Запаздыванием t называется промежуток времени от момента изменения входной величины х до начала изменения выходной величины у.
Постоянная времени Т может быть определена несколькими методами в зависимости от вида передаточной функции. Для рассматриваемой передаточной функции 1-го порядка Т определяется наиболее просто: сначала проводится касательная к точке перегиба, затем находятся точки пересечения с осью времени и асимптотой yуст; время Т определяется как интервал времени между этими точками.
В случае, если на графике между точкой перегиба имеется вогнутость, определяется дополнительное запаздывание tдоп, которое прибавляется к основному: t = t + tдоп.
2.7. Частотные характеристики.
2.7.1 Определение частотных характеристик.
Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.
Предположим, имеется некоторый объект и требуется определить его ЧХ. При экспериментальном снятии ЧХ на вход объекта подается синусоидальный сигнал с амплитудой Авх = 1 и некоторой частотой w, т.е.
x(t) = Авхsin(wt) = sin(wt).Тогда после прохождения переходных процессов на выходе мы будем также иметь синусоидальный сигналтой же частоты w, но другой амплитуды Авых и фазы j:
у(t) = Авыхsin(wt + j)
При разных значениях w величины Авых и j, как правило, также будут различными. Эта зависимость амплитуды и фазы от частоты называется частотной характеристикой. Виды ЧХ:
·
АФХ - зависимость амплитуды и фазы от частоты (изображается на комплексной плоскости);· АЧХ - зависимость амплитуды от частоты;
· ФЧХ - зависимость фазы от частоты;
· ЛАХ, ЛАЧХ - логарифмические АЧХ.
На комплексной плоскости входная величина x = Авх.sin(wt) для каждого момента времени ti определяется вектором х на комплексной плоскости. Этот вектор имеет длину, равную Авх, и отложен под углом wti к действительной оси. (Re - действительная ось, Im - мнимая ось)
Тогда величину х можно записать в комплексной форме
х(t) = Авх(cos(wt) + j.sin(wt)),
где j =
- мнимая единица.Или, если использовать формулу Эйлера eja = cosa + j.sina, то можно записать
х(t) = Авх.ejwt.
Выходной сигнал y(t) можно аналогично представить как вектор
y(t) = Авых.ej(wt+j).
Рассмотрим связь передаточной функции и частотной характеристики.
Определим производные по Лапласу:
у ® Y
у’ ® sY
у” ® s2Y и т.д.
Определим производные ЧХ:
у’(t) = jw Авыхеj(wt + j) = jw у,
у”(t) = (jw)2 Авыхеj(wt + j) = (jw)2 у и т.д.
Отсюда видно соответствие s = jw. Вывод: частотные характеристики могут быть построены по передаточным функциям путем замены s = jw.
Пример:
.При s = jw имеем:
= 
= 
= 
==
- j 
= Re(w) + j Im(w).Изменяя w от 0 до ¥, можно построить АФХ (см. рис.). ¨
Для построения АЧХ и ФЧХ используются формулы:
, 
.Формулы получения АФХ по АЧХ и ФЧХ:
Re(w) = A(w) cos j(w),
Im(w) = A(w) sin j(w).
2.7.2 Логарифмические частотные характеристики.
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются довольно часто для описания динамических параметров различных устройств. Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило, используются совместно и изображаются в виде графиков:
1) ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ.
Формула для построения ЛАЧХ: L(w) = 20.lg Aвых(w).Единица измерения - децибел (дБ).
На графике ЛАЧХ по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе. Это означает, что равным величинам отрезков по оси w соответствуют кратные значения частоты. Для ЛЧХ кратность = 10.
По оси ординат откладываются значения L(w) в обычном масштабе.
2) ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ. Представляет из себя ФЧХ, у которой ось частоты w проградуирована в логарифмическом масштабе в соответствии с ЛАЧХ. По оси ординат откладываются фазы j.