Экзаменационные вопросы и билеты по линейной алгебре за весенний семестр 2001 года (стр. 2 из 5)
79. Какова матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе?
80. Что можно сказать об операторе А, если известно, что его матрица в некотором ортонормированном базисе является симметрической?
81. Каковы корни характеристического уравнения самосопряженного оператора?
82. Сколько собственных значений имеет симметрическая матрица порядка n?
83. Каким свойством обладают собственные векторы самосопряженного оператора?
84. Когда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид?
85. Докажите, что (А+ В)* = А* + В* и (АВ)* = В* А*.
86. В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А =
. Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.87. Какая матрица называется ортогональной матрицей и чему равен ее определитель?
88. Свойства ортогональных матриц.
89. Что такое квадратичная форма? Дайте понятие матрицы квадратичной формы.
90. Запишите квадратичную форму в координатах в некотором базисе.
91. Что такое канонический вид квадратичной формы? Найти ее для x2 + xy + y2.
92. Какая квадратичная форма называется положительно определенной? Неотрицательно определенной?
93. Сформулируйте критерий Сильвестра.
94. Запишите закон инерции для квадратичной формы.
95. Что представляет собой метод итераций?
96. Дайте определение Гессиана.
97. Составьте Гессиан для функции f ( x1,....,xn )= x12 +x 1 x 2+ .... + x 1x n.
98. Приведите квадратичную форму х12 - 4х1х2 к каноническому виду методом выделения квадратов.
99. Какую квадратичную форму можно привести к каноническому виду?
100. Как изменяется характеристическое уравнение матрицы при ортогональном преобразовании квадратичной формы?
101. Выясните, является ли квадратичная форма с матрицей А =
положительно определенной?102. Когда диагональные элементы симметрической матрицы ― положительные числа?
103. Найдите ранг квадратичной формы трех переменных 2ху+ 2уz +2хz.
104. Какой ранг может иметь положительно определенная форма от n переменных?
105. Запишите матрицу перехода от базиса ек базису е¢, если е¢1= е1+ е2+7е3, е¢2=(7/6) е1- е2, е¢3=- е1+ е2+ е3.
106. Является ли линейным преобразование Ах = (6х1 - 5х2,-2х2, х3 - х1)?
107. Чему равно скалярное произведение векторов в арифметическом пространстве Rn?
108. Что можно сказать о собственных векторах, если они соответствуют различным собственным значениям?
109. Определите, каким является базис а=(1/
, 1/ ,1/ ), b=(1/ 
, -1/ , 0), с =(1/ 
, 1/ ,-2/ ).110. Нормируйте вектор х = 3i+ 4j+ 5k+ 7m.
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 1
1. Описать модель Леонтьева межотраслевого баланса.
2. Найти общее решение однородной системы:
.3. Как записывается свойство ассоциативности сложения векторов?
4. Когда в евклидовом пространстве существует ортонормированный базис, в котором матрица линейного оператора имеет диагональный вид?
5. В ортонормированном базисе оператор А имеет матрицу А =
. Найдите матрицу сопряженного ему оператора в этом же базисе.Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 2
1. Какие прямоугольные матрицы можно привести к ступенчатому виду? Метод приведения матрицы к ступенчатому виду. Пример.
2. Найти матрицу
А-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А 
= 
, где А = 
, = 
, 
.3. Образует ли линейное пространство множество многочленов степени n относительно обычных операций сложения многочленов и умножения многочлена на число?
4. Какая матрица называется ортогональной матрицей?
5. Запишите матрицу перехода от базиса b к новому с, если b1=3с1-с2+2с3 , b2=-6с1+5с2 -2с3, b3=4с1+с2-с3.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 3
6. Дать определение системы из «m» линейных уравнений с «n» неизвестными. Векторно-матричная форма записи системы линейных уравнений.
7. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений:
.8. Дайте определение понятия арифметического пространства Rn.
9. Какой матрицей является матрица, транспонированная к ортогональной?
10. Докажите, что для любых двух векторов а и с векторное уравнение а+х = с относительно х имеет решение, и притом единственное.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 4
11. Какой метод используется при решении системы линейных уравнений (на примере)?
12. Исследовать и решить в случае совместности систему уравнений:
.13. Запишите свойства линейно зависимой системы векторов.
14. Дайте определение Гессиана.
15. Составьте Гессиан для функции f ( x1,....,xn )= x12 +x 1 x 2+ .... + x 1x n.
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 5
16. Неоднородные системы уравнений. Основные свойства решений.
17. Найти матрицу
А-1, обратную к матрице А и с ее помощью решить систему А = , где А = 
, = 
, 
.18. Сформулируйте теорему о связи координат вектора-прообраза с координатами вектора-образа оператора А, действующего в пространстве L .
19. Какая матрица является матрицей оператора сопряженного линейному оператору А с матрицей А в ортонормированном базисе?
20. Выясните, является ли квадратичная форма с матрицей А =
положительно определенной.Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 6
21. Правило построения обратной матрицы на примере матрицы 2-го порядка с использованием алгебраических дополнений.
22. Совместна ли система уравнений:
?23. Выясните, образует ли линейное пространство множество всех векторов данной плоскости, не параллельных данной прямой, если в качестве операций взяты операции сложения векторов и умножения вектора на число.
24. Скольким собственным значениям может соответствовать один и тот же собственный вектор?
25. Составьте Гессиан для функции f ( x1,....,xn )= x12 + 2x22+ .... + nxn2 .
Зав. кафедрой
--------------------------------------------------
Экзаменационный билет по предмету
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Билет № 7
26. Что называют определителем матрицы. Порядок определителя. Понятие определителя применительно к матрице второго порядка. Пример.