Численные методы и их реализация в Excel (стр. 1 из 4)

Решение таких уравнений может быть как самостоятельной, так и частью более сложных задач. Как правило, исследователя интересует поведение решения в зависимости от параметров p_k , k=`1,n

Решениями или корнями уравнения (1) называют такие значения переменной х, которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество.

Только для линейных или простейших нелинейных уравнений удается найти решение в аналитической форме, т.е. записать формулу, выражающую искомую величину х в явном виде через параметры p_k (например формула корней квадратного уравнения).

В большинстве же случаев приходится решать уравнение (1) численными методами, в которых процедура решения задается в виде многократного применения некоторого алгоритма. Полученное решение всегда является приближенным, хотя может быть сколь угодно близко к точному.

Рассмотрим последовательность действий для получения решения нелинейного уравнения в среде электронной таблицы.

Пусть надо решить уравнение вида:

(2)

Cформируем лист электронной таблицы, как показано на рис.1. Уравнение (2) запишем в клетку С5, начиная со знака равенства, а вместо переменной x укажем адрес клктки В5, которая содержит значение начального приближения решения.

вместо переменной x укажем адрес клетки В5. которая содержит значение начального приближения решения

Метод, применяемый в EXCEL для решения таких уравнений -модифицированный конечными разностями метод Ньютона, который позволяет не сильно заботится о начальном приближении, как этого требуют другие численные методы решения уравнений (метод хорд, дихотомии и др.) Единственно, что следует учесть - это то, что будет' найдено решение ближайшее к выбранному начальному приближению.

Для получения решения уравнения (2) надо выполнить следующую последовательность действий:

1. Выполнить команду Сервис/Подбор параметра... (получим лист электронной таблицы, как показано на Рис. 2);

2. Заполнить диалоговое окно Подбор параметра...:

2,1 Щелкнуть левой клавишей мыши в поле Установить в ячейке, после появления в нем курсора, переместить указатель мыши и щелкнуть на клетке с формулой, в нашем случае это клетка С5, абсолютный адрес которой $С$5 появится в поле рис.1

Этот адрес можно было бы набрать на клавиатуре, после появления курсора в поле. Установить в ячейке

2.2. В поле Значение ввс

В нашем случае это значение равно О.

2.3 В поле, Изменяя значение ячейки ввести адрес клетки, где задано начальное приближение решения, в нашем случае это клетка В 5 (абсолютный адрес которой $В$5 появится в поле после щелчка левой клавиши мыши на клетке В5).После выполнения пунктов 1-2 страница электронной таблицы будет выглядеть так, как показано на Рис.3.

Правая часть решаемого уравнения не обязана быть всегда нулем равнение (2) преобразовать к виду 10*х*(х+10)/(х-9)=2. то в поле Значение следовало бы установить 2.

После нажатия на кнопке ОК появится окно Результат подбора параметра, в котором дается о том нацдена ли решение, чему равна и какова точность полученного решения.

Для нашего примера Результат подбора параметра показан на Рис.4

При значении аргумента –0,187204141 функция, стоящая в левой части уравнения (2) отличается от нуля на – 0,000484158.

Достигнутая точность решения равна – 1.0Е-3

Если полученные значения следует "отразить на листе электронной таблицы, то надо щелкнуть на кнопке ОК . .если же нет то на кнопку Отмена. В первом случае найденные значения зафиксируются в клетках В5 и С5 и лист электронной таблицы будет выглядеть как на Рис.5, или как на Рис.6, если установить режим отображения результатов, предварительно сняв режим отображения формул, выполнив команду Сервис/Параметры/Вид/Формулы.

Численные методы решения уравнений хороши тем, что мoжно получить приближенное решение с заданной точностью. EXCEL име (возможность управлять выбором точности. Для этого надо выполни' команду Сервис/Параметры/Вычисления и в соответствующих полз установить. значения относительной погрешности и количества итераш Рис.7

1.2 Системы двух линейныхалгебраических уравнений

Вышеизложенный способ получения решения уравнения может быть легко распрастранен для случая решения ситемы двух уравнений с двумя неизвестными, если ситема имеет следующий вид.

Y=Ф (х)

Y=y(х)

В каждом уравнении системы функции у явна выражена через х

Преобразуем систему (3) в одно уравнение вида (+)

Ф (х) -'^(х) = 0 - (4)

Полученное уравнение уже можно решить с помощью Подбора параметра... так как это было описано выше.

В качестве примера рассмотрим нахождение равновесных цены и объема продаж для рынка некоторого товара.

Пусть функция спроса на товар имеет вид Q = 40/(Р+3) а функция предложения: Q = 20Р-14

Найти равновесные цену и объем , построить графики спроса и предложения.

Имеющуюся систему уравнений Q=40/(p+3)

Q=20Р-14

преобразуем в одно уравнение вида 40 / (р + 3) - 20 р +14=0

Подбором параметра... описанным выше, находим равновесную цену, она равна 1,17, подставив это значение в одно из уравнений системы, получим и значение равновесного объема - 9,57. Для построения графика, иллюстрирующего ситуацию равновесия спроса и предложения на рынке, воспользуемся знанием равновесной цены и возьмем значения цен в некоторой окрестности от нее. например от 0 до 4 с шагом 0,1.

Используя все возможности мастера диаграмм, получим следующую иллюстрацию решения задачи о равновесии на рынке. Рис.8.

Задание1

Найти ближайшее к начальному приближению решение следующих уравнений. Исследовать влияние начального приближения на найденное решение

10x-x+56=12

Задание 2

Подбором параметра... найти точку равновесия рынка некоторого товара, для чего решить систему уравнений, описывающих спрос и предложение этого товара. Построить и оформить график равновесия.

Функция спроса

Q=50e-3

Функция предложения

Q=3p-4e

0<p<20

Глава 2. Матричная алгебра

По мнению крупнейшего экономиста нашей эпохи В.В.Леонтьева. «Дифференциальное исчисление и элементарная алгебра - два традиционных инструмента экономиста-математика заменяются . или, по крайней мере дополняются матричной алгеброй.»⁴Матричная алгебра тесно связана с линейными функциями и с линейными ограничениями в связи с чем находит себе применение в различных экономических задачах:

• в эконометрике, для оценки параметров множественных линейных регрессий;

• при решении задач линейного программирования;

• при макроэкономическом моделировании и т.д. Особое отношение к матричной алгебре в экономике появилось после создания моделей типа «Затраты - Выпуск», где с помощью матриц технологических коэффициентов объясняется уровень производства в каждой отрасли через связь с соответствующими уровнями во всех прочих отраслях.

Электронная таблица EXCEL имеет ряд встроенных функций для работы с матрицами: