Математическое моделирование при активном эксперименте (стр. 5 из 6)

Генерирующее соотношение служит для построения дробной реплики. Так, в рассмотренном планировании 2 3-1 мы задавали полуреплику типа 2 3 с помощью генерирующего соотношения x 3 = x 1 x 2 .

Определяющим контрастом (ОК) называется соотношение, задающее элемент первого столбца матрицы планирования для фиктивной переменной (все они равны 1). Выражение ОК в нашем примере получается умножением левой и правой частей приведенного генерирующего соотношения на его левую часть x 3

1 = x 1 x 2 x 3 ,

так как всегда x 2 ig = 1.

Знание ОК позволяет определить всю систему совместных оценок не изучая матрицу планирования ДФЭ. Соотношения, задающие эти оценки, можно найти, последовательно перемножив независимые переменные на ОК

x 1 = x 2 x 3 ; x 2 = x 1 x 3 ; x 3 = x 1 x 2 .

Отсюда легко находим смешиваемые теоретические коэффициенты регрессии и их оценки

b 1 ® b 1 + b 23 ; b 2 ® b 2 + b 13 ; b 3 ® b 3 + b 12 .

Разрешающая способность дробных реплик определяется генерирующими соотношениями. Она тем выше, чем выше порядок взаимодействий, с которыми смешаны линейные коэффициенты, и увеличивается с ростом числа независимых переменных.

Для четверти реплики в пятифакторном планировании типа 25-2 могут быть заданы, например генерирующее соотношение

x 4 = x 1 x 2 x 3 ; x 5 = x 1 x 2

заранее полагая, что b 123 = b 12 = 0, т.е. что пара x 1 x 2 и тройка x 1 x 2 x 3 не дает значимого эффекта взаимодействия. Определяющими контрастами для этой четверть-реплики согласно вышеприведенным правилам будут соотношения

1 = x 1 x 2 x 3 x 4 ; 1 = x 1 x 2 x 5 .

Если у дробной реплики имеются два и более определяющих контраста, их необходимо перемножить между собой, используя все возможные комбинации. В случае четвертьреплики получается одна комбинация

1 = x 3 x 4 x 5

Обобщающий определяющий контраст, построенный на основе всех полученных определяющих контрастов, полностью характеризует разрешающую способность реплик высокой степени дробности

1 = x 1 x 2 x 3 x 4 = x 1 x 2 x 5 = x 3 x 4 x 5 .

Совместные оценки здесь будут определяться соответствиями

x 0 = x 1 x 2 x 3 x 4 = x 1 x 2 x 5 = x 3 x 4 x 5 ;
x 1 = x 2 x 3 x 4 = x 2 x 5 = x 1 x 3 x 4 x 5 ;
x 2 = x 1 x 3 x 4 = x 1 x 5 = x 2 x 3 x 4 x 5 ;
x 3 = x 1 x 2 x 4 = x 1 x 2 x 3 x 5 =x 4 x 5 ;
x 4 = x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 4 x 5 =x 3 x 5 ;
x 5 = x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = x 1 x 2 = x 3 x 4 ;
x 1 x 3 = x 2 x 4 = x 2 x 3 x 5 = x 1 x 4 x 5 ;
x 2 x 3 = x 1 x 4 = x 1 x 3 x 5 =x 2 x 4 x 5 ;

Эти соотношения позволяют установить, оценкой каких теоретических коэффициентов является тот или иной коэффициент регрессии, полученный при обработке результатов эксперимента

b 0 = b 0 + b 1234 + b 125 + b 345 ;
b 1 = b 1 + b 234 + b 25 + b 1345 ;
b 2 = b 2 + b 134 + b 15 + b 2345 ;
b 3 = b 3 + b 124 + b 1235 + b 45 ;
b 4 = b 4 + b 123 + b 1245 + b 35 ;
b 5 = b 5 + b 12345 + b 12 + b 34 ;
b 13 = b 13 + b 24 + b 235 + b 145 ;
b 23 = b 23 + b 14 + b 135 + b 245 ;

Разрешающая способность этой четверти реплики невысокая, так как все линейные коэффициенты смешаны с парными взаимодействиями. Матрица планирования такой четверти реплики представлена в табл.4.

Следует иметь в виду, что ДФЭ всегда можно дополнить до ПФЭ, реализовав недостающие дробные реплики.

Вся дальнейшая работа по реализации матрицы планирования ДФЭ, проверке воспроизводимости полученных результатов, определению оценок коэффициентов регрессии и их значимости, проверке адекватности полученной математической модели не отличается от соответствующих процедур в ПФЭ.

Таблица 4

Четверть реплики от ПФЭ типа 2 5 (планирование типа 2 5-2 )

z10

z11

z12

z13

z14

z15

z16

z17

z18

z19

z20

z21

z22

z23

Z24

z25

z26

z27

z28

z29

z30

z31

x1x2

x1x3

x1x4

x1x5

x2x3

x2x4

x2x5

x3x4

x3x5

x4x5

x1x2x3

x1x2x4

x1x2x5

x1x3x4

x1x3x5

x1x4x5

x2x3x4

x2x3x5

x2x4x5

x3x4x5

x1x2x3x4

x1x2x3x5

x1x2x4x5

x1x3x4x5

x2x3x4x5

x1x2x3x4x5

Пример 2. Методом ДФЭ найти математическую модель процесса напыления резисторов.

Воспользуемся результатами Примера 1 и положим в качестве генерирующего соотношения равениство x 1 = x 2 x 3 (т.к. b 23 = 0). Тогда матрица планирования и результаты эксперимента (опуская промежуточные данные) будут выглядеть так

g	x 0	x 1	x 2	x 3		S 2 g		( - ) 2
1	+	+	-	-	17,34	2,228	17,41	0,0049
2	+	-	+	-	10,72	1,387	10,77	0,0025
3	+	-	-	+	13,70	0,950	13,65	0,0025
4	+	+	+	+	14,58	4,227	14,53	0,0025

Проверим воспроизводимость опытов

откуда следует, что результаты опытов получены правильно, дисперсия строчных выборок равна S 2 {y} = 8,792 / 4 = 2,198 с числом степеней свободы v 3 = 4·4 = 16.

Оценки коэффициентов уравнения регрессии

;

аналогично b 2 = -1,44; b 3 = 0,05.

Проверка значимости полученных оценок начинается с определения их СКО

откуда

;

Табличные значения критерия t кр (5%;16) = 2,131, следовательно, модель найдена в виде

= 14,09 + 1,88x 1 - 1,44x 2 .

Проверка адекватности модели дает

, откуда

т.е. модель признается адекватной экспериментальным данным.

Сравнение моделей примера 1 и примера 2 показывает, что они имеют совершенно разный вид, а по некоторым факторам - противоположные по смыслу оценки коэффициентов. Отсюда можно сделать несколько общих выводов и рекомендаций (без подробного обоснования), пригодных для использования в рамках теории планирования экспериментов: