Контрольные карты Шухарта контроль по доле дефектных изделий распределение параметра дискр (стр. 2 из 4)
2.1. Простой подход к дискретным величинам
При работе с дискретными величинами каждый образец описывается одним числом. Поскольку каждый результат подсчета — это индивидуальное значение, ХmR-карту можно использовать для отражения самих значений или доли этих значений. Каждое значение или доля рассматривается как наблюдение, и скользящий размах используется для измерения вариации от одного значения к другому. При переходе к дискретным величинам нет проблем, если их дискретность мала относительно области определения. Иными словами, когда среднее число событий (в выборке или за период времени) велико, различия между факторами и атрибутами не так важны, как в случае, если это значение мало.
Насколько большим должно быть среднее число событий? Достаточно большим, чтобы предотвратить влияние дискретности на контрольные пределы карты или вид хода процесса. Пагубное влияние дискретности на контрольную карту начинается тогда, когда стандартное отклонение процесса становится меньше единицы измерения. Во многих случаях стандартное отклонение примерно пропорционально квадратному корню из среднего дискретного значения. В то же время наименьшая единица «измерения» дискретных величин всегда целое число. Объединяя эти факты, мы можем заключить, что ХmR-карту для дискретных данных можно построить во всех случаях, когда среднее значение подсчета больше единицы. Если же оно больше двух, то влияние дискретности на контрольные пределы будет ничтожным.
Эта нижняя граница (от одного до двух подсчетов на выборку) гораздо ниже обычно применяемого ограничения. Причина, по которой столь низкое ограничение приемлемо для контрольной карты, заключается в ее специфике: контрольная карта призвана скорее обозначить границы гистограммы, чем описать ее форму. Дискретность атрибутов ощутимо не влияет на контрольные пределы (на уровне Зσ), если среднее дискретное значение не очень мало.
Это означает, что большинство атрибутов можно успешно описывать обычными ХmR-картами. Применение специальных контрольных карт может потребоваться только в том случае, если среднее дискретное значение будет очень мало.
Таким образом, можно использовать некоторые свойства дискретных данных для вычисления более узких контрольных пределов.
Пример №1. (см. приложение)
2.2. Карты для биномиальных величин
Любая дискретная величина должна иметь область определения. Именно она и определяет ключевое различие между двумя главными типами дискретных величин.
Рассмотрим выборку, состоящую из п элементов, отобранных в случайные моменты времени из потока продукции в некоторой точке производственного процесса. Если каждое из отобранных изделий считается либо годным, либо негодным, то число негодных будет искомой дискретной величиной. Обозначим это число символом Y. Очевидно, что его область определения задается числом отобранных изделий. Оно не может быть меньше 0 и больше n, следовательно, интервал [0; n] полностью определяет набор всех возможных значений величины Y.
Последовательность таких выборок даст ряд результатов наблюдений:
Y1, Y2,Y3,Y4,Y5,……
При определенных условиях для характеристики поведения этого ряда Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,…можно использовать модель биномиальных вероятностей.
Биномиальное условие 1: область определения дискретной величины Y должна состоять из п различных значений.
Биномиальное условие 2: каждое из этих значений можно классифицировать как либо обладающее, либо не обладающее неким атрибутом. Обычно таким атрибутом служит несоответствие допускам.
Биномиальное условие 3: пусть р есть вероятность того, что объект обладает атрибутом. Значение р должно быть постоянным для всех п объектов любой выборки. Хотя карта проверяет, изменяется ли р от выборки к выборке, р должно быть постоянным внутри каждой выборки.
Биномиальное условие 4: вероятность того, что некий объект обладает атрибутом, не зависит от того, обладал ли им предыдущий объект. (Негодные объекты обычно не образуют кластеры и независимы друг от друга.)
Когда дискретная величина удовлетворяет этим четырем условиям, для расчета контрольных пределов последовательности Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,…можно использовать модель биномиальных вероятностей. Следовательно, мы можем использовать в наших вычислениях известное соотношение между средним и стандартным отклонением биномиального распределения. При этом не надо строить карту размахов.
Буква п здесь обозначает область определения биномиальных величин, а не объем подгруппы (число значений, используемых для вычисления среднего). Биномиальная величина Y — это индивидуальное значение, единственное для каждой «подгруппы».
Рассмотрим последовательность наблюдаемых значений Y1,Y2,Y3,Y4,Y5,…
удовлетворяющую четырем условиям. Эти значения могут рассматриваться в качестве элементов биномиального распределения с параметрами n и р. Среднее для этого распределения равно
Y=np
а стандартное отклонение
На практике параметр р заменяется средней долей негодной продукции р за базовый период наблюдений:
Таким образом, формулы для расчета 3σ-пределов будут выглядеть следущем образом:
Пример №2 (см. приложение)
Заметим, что процедура использования np-карты подразумевает равную вероятность негодности для каждой из проверенных деталей. Иными словами, вероятность обнаружения негодной продукции внутри каждой выборки, состоящей из 60 элементов, не меняется. (Сама карта предполагает, что вероятность меняется от выборки к выборке.)
2.3. Карты для долей, основанных на биномиальном распределении
Итак, np-карты следует использовать в тех случаях, когда данные распределены по биномиальному закону и все выборки имеют одинаковые области определения. Если же области распределения меняются от выборки к выборке, напрямую сравнивать результаты нельзя. Каждое дискретное значение надо скорректировать, разделив на его область определения. В результате получаются доли рi. Карта атрибутов, построенная для долей рi, называется р-картой.
В основе р-карты лежит значение выборочной доли негодных изделий р(, которое определяется по формуле
где Yi — подсчет для i-й выборки;
ni — число проверенных изделий в i-й выборке.
Средняя доля негодных изделий р рассчитывается так же, как и раньше, а контрольные пределы для значений рi определяются так:
где нижний контрольный предел имеет смысл только если он положителен.
Проблема, связанная с р-картой, заключается в том, что стандартное отклонение зависит о переменной области определения ni. Поскольку область определения меняется, изменяется и вычисленное значение стандартного отклонения, а контрольные пределы приближаются или, наоборот, удаляются от центральной линии. Это означает, что контрольные пределы нужно рассчитывать всегда, когда меняется область определения ni . Если значения ni для каждой выборки различны, контрольные пределы приходится постоянно пересчитывать, и это делает использование р-карт чересчур громоздким и неудобным.
Пример №3 (см. приложение.)
Многие рекомендуют вычислять контрольные пределы по средней области определения п, если величины ni отклоняются от него не более чем на 20%. В приведенном примере этот подход не работает, поскольку области определения варьируют от 47 до 104.
Однако, поскольку большинство ni близки либо к 50, либо к 100, можно использовать два набора приближенных контрольных пределов. Один основан на п = 50, а другой — на п = 100. В этом случае точные значения контрольных пределов потребуются только для тех точек, которые лежат очень близко к приближенным. Понятие «близко» субъективно. Во всех случаях, когда рассчитанные доли чуть меньше или чуть больше приблизительных контрольных пределов, надо определять их точные значения.
Другой способ, позволяющий избежать вычисления точных значений контрольных пределов для каждого ni , заключается в определении узких и широких пределов. Дело в том, что увеличение области определения ведет к сужению контрольных пределов. Следовательно, если их рассчитывать по наибольшему из ni, вероятность которого достаточно высока при нормальном протекании процесса, то получатся наиболее узкие контрольные пределы из всех возможных. И пока область определения не превышает использованное для вычислений значение ni , все величины долей негодной продукции, лежащие внутри узких контрольных пределов, будут заведомо находиться и внутри точных пределов.
Так же рассчитываются и широкие контрольные пределы: при использовании наименьших из имеющихся ni мы получаем чрезмерно завышенные оценки пределов, и, пока область определения превышает наименьшее из имеющихся значений ni , доли, оказывающиеся вне широких пределов, будут заведомо находиться и вне точных. Очевидно, что такие точки будут служить сигналами выхода процесса из состояния статистической управляемости.