Зміст
Вступ 3
§ 1. Постановка задачі 4
§ 2. Подвійні різниці для функції двох змінних 7
§ 3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для
функції двох змінних 9
§ 4. Інтерполяційний многочлен Лагранжа у випадку
функції двох змінних 11
§ 5. Двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби 12
§ 6. Результати і висновки 19
Література 26
Додаток. Інструкція користувача та тексти програм 27
Вступ.
Однією із задач, які розв¢язує сучасна обчислювальна математика, є проблема наближення функції однієї змінної та багатьох дійсних змінних іншими функціями більш простої, взагалі кажучи, будови, які легко обчислюються на електронно-обчислювальних машинах. Інша назва цієї задачі – апроксимування функції. Ця задача може постати, наприклад, у випадку, коли або функція задана своїми значеннями у вигляді таблиці результатів експерименту, або коли функція має складну аналітичну будову і знаходження її значення у деяких точках викликає обчислювальні труднощі. Так, зокрема, всі широко вживані на практиці функції sin(x), cos(x), exp(x), ln(x), ch(x), sh(x) та багато інших визначаються при обчисленнях на ЕОМ за допомогою функціональних рядів або ланцюгових дробів.
В останні роки різко зріс інтерес до класичних методів апроксимації функцій. Це пов’язано з тим, що ці апроксимації знайшли різноманітне застосування в обчислювальних задачах теоретичної фізики та механіки. Взагалі потрібно відмітити, що останнім часом ми стаємо свідками позитивної тенденції, згідно якої сучасні математичні дослідження все більше і більше ініціюються найбільш передовими фізичними теоріями та прикладними обчислювальними задачами, серед яких і спроби об¢єднати слабкі, електромагнітні, сильні та гравітаційні взаємодії у фізиці і проблеми ефективної компресії аудіовізуальної інформації на підставі аналізу спектра сигналу в обчислювальній математиці та ще багато інших не менш цікавих задач.
В даній кваліфікаційній роботі розглядаються два найбільш часто вживані підходи до інтерполяції функції двох змінних – двовимірні інтерполяційні многочлени і двовимірні інтерполяційні ланцюгові дроби, доводяться деякі корисні для практичного використання твердження. Також зроблено спробу дати деяку загальну оцінку ефективності використання вищезгаданих методів на підставі результатів обчислювальних експериментів.
§1. Постановка задачі.
Поставимо у відповідність двом дійсним змінним x і y прямокутну декартову систему координат X0Y. Розглянемо в площині цієї системи прямокутну область . І нехай у цій області визначена деяка функція двох змінних . Розіб’ємо область на прямокутники за допомогою сукупності прямих, паралельних 0X та 0Y .
,
та на проміжку множину точок
.
Декартів добуток цих множин
буде утворювати множину інтерполяційних вузлів.Відповідні прямі та розбивають область D на прямокутники.
Нехай у вузлах задані значення функції . В цій же області D виберемо довільну точку . Процес обчислення в точках М, які не збігаються з вузловими, називається інтерполюванням. Обчислення значень в точках М, які лежать зовні області D, називають екстраполюванням.
Перейдемо до обчислення невідомого значення . Проведемо через точку М дві прямі ABiPQ, паралельні координатним осям. Розглянемо точки перетину їх з прямими та , які проходять через інтерполяційні вузли. Для визначеності зупинимося на прямій AB, паралельній осі 0Х. Вона перетинається з прямими в точках , де у – ордината точок перетину. Тепер, зафіксувавши значення і, та використовуючи значення функції для , ми зможемо звичайними методами інтерполяції, розробленими для функції однієї змінної, обчислити значення . Проробивши це на всіх прямих , ми отримаємо значення функції в точках перетину AB та сукупності прямих. Інтерполюючи по цих точках, ми знайдемо і - значення функції у точці перетину пунктирних ліній.
Аналогічно можна інтерполювати по значеннях функції на горизонтальних прямих і в такий спосіб знайти значення в точках перетину цих прямих з прямою PQ. Інтерполюючи по них, ми знову прийдемо до . Кінцевий результат не залежить від порядку, в якому виконується інтерполювання – чи спочатку горизонтальне, а потім вертикальне, чи навпаки – в обох випадках ми прийдемо приблизно до одного і того ж значення , оперуючи інтерполяційними формулами Ньютона, Стірлінга, Бесселя і їм подібними, обірваними на різницях одного порядку.
До тепер задачу двовимірної інтерполяції ми розв’язували у вузькому смислі, інтерполюючи спочатку відносно однієї змінної, а потім відносно іншої для відшукання значення в точках, не співпадаючих з вузловими. В загальному випадку задача інтерполювання функції від двох змінних може бути сформульована так: в точках (що є перетинами сукупності паралелей координатним осям) замкненої області D задані значення неперервної функції і потрібно наблизити її за допомогою неперервної функції , яка у всіх даних точках приймає відповідно задані значення і зображує в інших точках D функцію точно або наближено.
Співставимо поверхню з прямокутною системою координат. Щоб уявити собі геометричний зміст інтерполювання, достатньо побудувати поверхню , яка проходить через точки . Оскільки значення апроксимуючої функції в точках співпадають із значеннями , а в інших, взагалі кажучи, відмінні, точки ми і назвали вузловими точками. Геометричний зміст інтерполювання виражається в тому очевидному факті, що поверхня замінюється апроксимуючою поверхнею . Щоб оцінити точність інтерполяції, необхідно оцінити різницю аплікат цих поверхонь в точках , не співпадаючих з вузловими.
Далі розглянемо інтерполяційні агрегати у вигляді многочленів (які будемо називати інтерполяційними многочленами для функції двох змінних) і двовимірних інтерполяційних ланцюгових дробів, оскільки такі представлення є найчастіше вживаними і краще вивченими. Але перед тим як приступити до побудови двовимірної інтерполяційної формули Ньютона, розглянемо спочатку подвійні різниці для функції двох змінних, які нам для цього знадобляться.
§2. Подвійні різниці для функції двох змінних.
Нехай задана функція і, крім того, задані такі значення аргументів і :
і .
Введемо поняття подвійних поділених різниць цієї функції. Поділені різниці функції ми можемо обчислити або по якій-небудь одній змінній, наприклад , або по обох змінних і .
Якщо послідовні поділені різниці функції утворюються по , то символом будемо позначати n-ту частинну різницю функції по змінній ; якщо ж різниці утворюються по y, то через будемо позначати m-ту частинну різницю функції по змінній . Так, наприклад, перша поділена різниця функції по змінній х має вигляд (у вважається сталою):
а різниця (х вважається сталою)
являє собою першу поділену різницю функції по у. Зробимо важливе зауваження щодо символів , , і . Якщо розглянути, наприклад, символ , то можемо відмітити, що цим символом позначається значення функції в точці площини Х0У, а не перша поділена різниця функції , як це прийнято позначати у випадку одновимірної інтерполяції. Такий же зміст мають і інші символи. Для поділеної різниці (n+m)-го порядку відносно обох змінних х (для значень х, рівних ) та у (для значень у, рівних ) ми будемо використовувати позначення:
Поділені різниці функції від двох змінних можуть бути отримані за допомогою формули для різниць функції від одної змінної. Власне ми можемо утворити певну суперпозицію двох таких формул:
тоді
.
§3. Інтерполяційний многочлен у формі Ньютона для функції двох змінних.
Згідно загальної інтерполяційної формули Ньютона для функції однієї змінної маємо:
Але по тій самій формулі Ньютона ми можемо записати:
Таким чином отримуємо інтерполяційну формулу для , яка залежить від поділених різниць:
(1)
де
,
то залишковий член може бути переписаний у вигляді
(2)
Таким чином для функції, яка залежить від двох змінних, формула Ньютона приймає вигляд (1), причому залишковий член може бути представлений у вигляді (2).
За аналогією з одновимірним випадком, можна спростити залишковий член за допомогою значень похідних в деякій середній точці. Тоді можемо записати:
,
де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел і
де знаходиться між найбільшим та найменшим з чисел . Символами та позначені частинні похідні.
Тепер звернемо увагу ще на таке співвідношення:
,
де і знаходяться відповідно в тих самих межах, що згадані вище. Відмітимо, що невідомі числові значення і , які входять в дві перші формули, не рівні значенням і останньої формули. З цих формул отримуємо наступну формулу для оцінки похибки інтерполяції:
§4. Інтерполяційний многочлен
Лагранжа у випадку функції двох змінних.
Розглянемо ще одну формулу інтерполювання без різниць – формулу Лагранжа. Вона пов’язана із значеннями функції в дискретних точкахобласті D і часто є більш вигідною ніж попередньо розглянуті формули.
Для отримання потрібної нам формули досить побудувати многочлен степеня (степеня відносно x та степеня відносно y), що приймає в точках ті самі значення що і задана функція. Якщо цей многочлен ми приймемо в якості інтерполяційного, то залишковий член відповідної інтерполяційної формули не буде нічим відрізнятися від залишкового члена попередньо виведеної формули Ньютона.