Государство и право 3 (стр. 3 из 7)
1. Определим величину реакции в заделке (саму заделку мысленно отбрасываем и заменяем силой реакции RAz, (рис. 4,6). Реакцию RAz направляем влево (если в результате получим ее величину отрицательной, значит, сила реакции направлена в противоположную сторону, т. е. вправо).
Все внешние силы и силы реакции направлены вдоль оси стержня, поэтому условие его статического равновесия в данном случае имеет вид (сумма проекций всех внешних сил и реакций связи на ось z):
-RAz+F = O.
Получаем величину реакции RAz = F (заключаем, что выбранное направление силы реакции верно).
2. Применим метод сечений (РОЗУ) — рассекаем стержень в произвольном сечении I - I (рис. 4, а, б) и рассматриваем равновесие либо правой части 2, либо левой части 1, т. е. отбрасываем одну из частей. Действие внутренних силовых факторов, заменяем равнодействующей силой N в сечении площадью А:
Рис. 3.1.
Исследуемый элемент конструкции — а; расчетная схема — б; метод сечений — в; эпюра продольной силы — г; распределение нормальных напряжений по поперечному сечению — д; эпюра нормальных напряжений е; схема деформации стержня — ж; эпюра продольных деформаций — з; эпюра поперечных деформаций — и; эпюра продольных удлинений — к
Уравновешивание любой из частей показывает, что продольная (нормальная) сила N равна F и направлена от сечения (рис. 4,в), следовательно, по правилу знаков в сопромате считается положительной. Поскольку сечение 1-1 было выбрано произвольно, эпюра продольной силы по длине стержня будет постоянной (рис. 4, г, ордината – значение силового фактора).
3. Эксперимент показывает, что при рассматриваемом виде нагружения плоские сечения до деформации и после приложения нагрузки остаются плоскими (кроме краевых зон, величина которых сравнима с размером поперечного сечения). Отсюда можно сделать вывод, что интенсивность внутренних силовых факторов по поперечному сечению постоянна, т.е. нормальные напряжения одинаковы в любой точке поперечного сечения и равны (рис. 4, д):
sz= N/A=F/A
Как и эпюра продольной силы, эпюра нормальных напряжений неизменна по длине (рис. 4,е).
4. Процесс анализа деформации стержня при растяжении показывает, что весь стержень удлинится на Ñl (абсолютная деформация) и его поперечные размеры сократятся на Ñа. Поскольку поперечные сечения остаются параллельными друг другу и после нагружения, то относительная продольная деформация любого продольного отрезка при растяжении постоянна и в нашем случае равна (рис. 4, ж, з):
ez=Ñl/l
Относительная деформация — величина безразмерная (иногда задается в %).
Гипотеза упругости (физическая связь между напряжениями и деформациями) в случае растяжения (сжатия) стержневого элемента (закон Гука при растяжении - сжатии) имеет вид:
sz = ez ×Е,
где Е — модуль упругости материала (первого рода) или модуль Юнга — физическая характеристика, определяемая из опыта. В данной конкретной задаче (рис. 4,з) продольная деформация постоянна вдоль оси стержня и равна
ez=sz/Е = F/ЕА.
Величина ЕА – жесткость стержня на растяжение-сжатие. Эксперимент показывает, что отношение величин поперечной деформации к продольной для изотропных материалов практически постоянно и оценивается коэффициентом Пуассона (физическая характеристика материала – коэффициент поперечной деформации):
m = -ey/ ez
Эпюра поперечной деформации представлена на рис. 4,и. Величина m для широкого класса конструкционных материалов изменяется в диапазоне
0 £ m £ 0,5
Полное удлинение стержня: при постоянном значении N и площади сечения А равно:
Ñl=Fl/EA
На рис. 4, к представлена линейная эпюра изменения текущего значения Ñl(z) в зависимости от координаты z ( в т. А жесткая заделка – перемещений нет).
Если наряду с внешними нагрузками имеется температурное воздействие, то согласно постулату о принципе независимости действия сил полная деформация есть суперпозиция силовой и температурной деформации, т.е.
ez = sz/Е + a×Ñt,
где a - коэффициент температурного расширения; Ñt – разность температур нагретого тела и исходного (обычно 20 0С). В нашем случае при нагреве растягиваемого стержня полная абсолютная деформация (или удлинение) равна:
Ñl = Fl/ЕА + a×l×Ñt.
Лекция 4. ИСПЫТАНИЕ МАТЕРИАЛОВ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
Основные механические характеристики материалов получают в результате специальных лабораторных исследований на испытательных машинах при нагружении стержней на растяжение и сжатие. Вид стержневых образцов и сами методы испытаний регламентированы государственными стандартами.
Испытания на растяжение образцов испытуемого материала производятся на специальных разрывных машинах. Образцы обычно бывают круглого (рис.1), реже - прямоугольного, сечения. На концах образцы имеют головки в виде утолщения.
Рис. 1
Диаграмма растяжения
Рассмотрим типичную диаграмму испытаний, характерную для образцов из малоуглеродистых сталей, полученную при нормальной температуре и стандартных скоростях деформирования при нагружении (рис. 2).
 |
Рис.2. Диаграмма испытаний, вид и характер деформации стандартных образцов
На диаграмме растяжения могут быть условно выделены четыре характерных участка для различных стадий деформирования образца:
ОА — участок упругости (пропорциональности), на котором видна прямопропорциональная зависимость между растягивающей силой и вызываемого ею удлинения (абсолютной деформации). На этом участке абсолютная деформация достаточно мала (до 0,02 %).
АВ — участок (или площадка) текучести, где деформации растут без заметного повышения нагрузки. Следует отметить, что у многих конструкционных металлов участок текучести отсутствует (дюралюминий, легированные стали и др.). Деформации текучести достигают 0,2 %.
ВС — участок упрочнения, на котором отмечается новый, но более медленный, чем на первом участке, рост нагрузки. В конце этого участка на образце начинает образовываться шейка — местное сужение образца, это намечается место будущего разрыва, а растягивающая сила F достигает максимального значения. Деформация при этом около 15% .
CD — участок разрушения (местной пластической деформации), на котором удлинение всего образца уже происходит за счет местной деформации в зоне шейки, площадь которой существенно уменьшается. Поэтому для разрушения требуется меньшее усилие. Отметим, что многие материалы разрушаются без заметного образования шейки.
Диаграмма деформирования является базовой для характеристики материала в сопротивлении материалов и получается из диаграммы испытаний, когда размеры образца исключаются путем деления растягивающей силы на первоначальную площадь, а абсолютного удлинения на начальную длину образца. Строится зависимость s = ¦(e) — рис. 3, а. Неучет изменения поперечных размеров за счет эффекта Пуассона делает эту диаграмму в определенной мере условной.
Рис. 3 - Диаграмма деформирования с участком текучести — а; без него — б
На диаграмме деформирования сохраняются те же характерные участки. Соответственно им следующие характеристики материалов имеют названия:
sпц — предел пропорциональности;
sт — предел текучести;
sb — предел прочности;
sk — напряжение в момент разрушения.
Если материал не имеет выраженной площадки текучести, то предел текучести назначается по допуску на пластические деформации. Наиболее распространенным значением предела текучести sт является s02, где 0,2 означает, что остаточная деформация при этом значении равна 0,2 % (рис. 3, 6).
В качестве характеристик пластичности (наряду с sт) используются остаточное удлинение d (%) и остаточное сужение jk (%):
d=Ñl/l0; jk=A0 – Ak/Ak,
где l0, А0 – первоначальная длина образца и площадь; lk, Ak – длина и площадь после разрушения (разрушенные части образца соединяются и производятся измерения).
Чем больше параметры d и jк, тем пластичнее материал. Тангенс угла наклона участков ОА, LN диаграмм деформирования и будет модулем упругости материала (первого рода) или модулем Юнга: Е = tga (рис. 3). Размерность модуля упругости — это размерность напряжений, т. к. относительная деформация — величина безразмерная (в ряде случаев указывается в процентах). В технике принято и напряжения, и модуль упругости указывать в мегапаскалях — МПа (1 МПа = 106 Па, 1 Па = Н/м2, 1 МПа - 1 Н/мм2).
Условие прочности и жесткости при растяжении (сжатии)
Расчет на прочность по допускаемым напряжениям основан на том, что наибольшее расчетное напряжение в опасном сечении стержневой конструкции не превосходит допускаемого (меньше — не более 10% , больше — не более 5%):
sр£[s].
В случае растяжения (или сжатия) стержня
sр = sz,
sz = N/A.
Допускаемое напряжение – это наибольшее напряжение, при котором обеспечивается требуемая прочность, жесткость и долговечность элемента конструкции в заданных условиях его эксплуатации.
Допускаемое напряжение составляет некоторую долю от предельного напряжения sпред:
[s] = sпред / [n],
где [n] - нормативный коэффициент запаса, показывающее, во сколько раз допускаемое напряжение меньше предельного. В сопромате за sпред принимают для пластичных материалов sТ – предел текучести, а для хрупких sВ – предел прочности.