Исследование риска в автотранспортном страховании (стр. 2 из 2)

2.1. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону)(1), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид:

где а и s—некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид:

Параметр а- есть математическое ожидание случайной величины, имеющей нормальное распределение, s - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна:

Выберем в окне пункт «Continuous distributions» (Непрерывные распределения), что означает выбор непрерывного распределения, и необходимое распределение: «Normal». Результаты проверки на нормальное распределение приведены в Таблице 4 и на Графике 1.

Таблица 4

По полученным результатам можно сделать вывод о том, что эмпирические частоты не совпадают с полученными теоретическими. Рассмотрим График 1.

График 1. Проверка на нормальное распределение

При рассмотрении Графика 1 приходим к этому же выводу.

Сравним также эмпирические данные с полученными теоретическими с помощью критерия Колмогорова-Смирнова и критерия c².

Критерий Колмогорова-Смирнова тест

С помощью критерия Колмогорова-Смирнова необходимо проверить гипотезу о том, что величина размера ущерба распределена по нормальному закону. Для этого необходимо сравнить d_набл.и d_крит при заданном уровне a , а затем принять или отвергнуть гипотезу.

d_крит находится по таблицам распределения Колмогорова-Смирнова, а при большом числе договоров (n>100) по асимптотическим формулам:

где k_1-α- квантиль порядка 1-α распределения Колмогорова, которые находят по таблице:

Асимптотические критические значения k_1-α для статистик Колмогорова и Смирнова-Колмогорова

α	0,2	0,1	0,05	0,02	0,01
k_1-α	1,073	1,224	1,358	1,517	1,628

Кроме того, расчёт d_критвозможен при n→∞ по асимптотическому соотношению:

В рассматриваемом примере n=125, a=0.05, расчёты по приведённым асимптотическим формулам приводят к d_крит= 0,121463 по 1-й формуле и d_крит= 0,121463 по 2-й формуле.

d_набл=0,23, и d_набл>d_крит=0,115 при a=0,05, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения отвергается.

Далее необходимо аналогично проверить возможность аппроксимации других распределений – логнормального, экспоненциального и гамма-распределения.

d_набл=0,23 , и d_набл>d_крит=0,121 при a=0,05, т.е. гипотеза о нормальном законе распределения отвергается.

2.2. ЛОГНОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Осуществим проверку на логнормальное распределение. Случайная величина X имеет логарифмическое нормальное (логнормальное) распределение (1) с параметрами a и σ, если случайная величина ln x имеет нормальное распределение с параметрами a > 0 и σ . Функция плотности вероятностей p (x), функция распределения F (x) и моменты M(X) , D(X) логнормального распределения имеют, соответственно, вид:

;

Таблица 5

График 2. Проверка на логнормальное распределение

Сравним эмпирические данные с полученными теоретическими с помощью критерия Колмогорова-Смирнова и критерия c². Kolmogorov-Smirnov d = 0,05471

d_набл<d_крит=0,121 при a=0,05, т.е. гипотеза о том, что данная совокупность распределена по логнормальному закону, не отвергается. Следовательно, для этого примера можно считать адекватным логнормальное распределение.

2.3. ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Осуществим проверку на экспоненциальное распределение.

;

Таблица 6

График 3. Проверка на экспоненциальное распределение

Сравним эмпирические данные с полученными теоретическими с помощью критерия Колмогорова-Смирнова и критерия c². Kolmogorov-Smirnov d = 0,13613, p < 0,05

d_набл>d_крит=0,121 при a=0,05, т.е. гипотеза о том, что данная совокупность распределена по экспоненциальному закону, отвергается.

2.4. ГАММА РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Осуществим проверку на гамма распределение.

Таблица 7

График 4. Проверка на гамма распределение

Сравним эмпирические данные с полученными теоретическими с помощью критерия Колмогорова-Смирнова и критерия c². Kolmogorov-Smirnov d = 0,13633, p < 0,05

d_набл>d_крит=0,121 при a=0,05, т.е. гипотеза о том, что данная совокупность распределена по закону гамма распределения, отвергается.

Выводы.

1. Проанализировав распределение числа убытков в одном договоре на соответствие двум законам распределения, Пуассоновскому и отрицательному биномиальному, было определено на основе c², что для рассматриваемого примера адекватной признается пуассоновская модель.

Отрицательное биномиальное распределение в этом примере не приемлемо т.к. математическое ожидание изучаемой случайной величины превышает дисперсию, а также вероятность_успеха > 1 и число_успехов < 1.

2. Исследуя распределение величины ущерба при наступлении одного страхового случая, было определено на основе анализа теоретических и эмпирических частот, а также критерия Колмогорова-Смирнова, что гипотеза о том, что данная совокупность распределена по логнормальному закону, не отвергается. Следовательно, для этого примера можно считать адекватным логнормальное распределение.

Согласованность эмпирических и теоретических частот, рассчитанных с помощью логнормального распределения, изобразим на Графике 5.

График. 5. Согласованность эмпирических и теоретических частот, рассчитанных с помощью логнормального распределения

График 5 подтверждает справедливость того, что данная совокупность подчинена логнормальному распределению.