Расчёт статически определимых и неопределимых систем матричным способом в среде MATLAB (стр. 1 из 6)
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЕГАЗОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»
«Институт Транспорта»
Кафедра «Теоретическая и прикладная механика»
КУРСОВАЯ РАБОТА
«Расчёт статически определимых и неопределимых систем матричным способом
в среде MATLAB»
вариант №1
Выполнил: студент группы ДПМ-05 Жиряков Н.С.
Проверил: Пономарёва Т.М.
ТЮМЕНЬ 2008
Оглавление:
1. Введение
1.1 Краткие сведения из теории матриц
1.2 Матричная форма определения перемещения по правилу Верещгина
1.3 Матричная форма расчета статически неопределимых рам методом сил
2. Расчет статически определимой рамы
2.1. Аналитическое решение
2.2. Матричный способ расчета
2.3. Программа в среде Matlab 6.5
2.4. Результаты выполнения программы
3.Расчет статически неопределимой рамы
3.1. Аналитическое решение
3.2. Матричный способ расчета
3.3. Программа в среде Matlab 6.5
3.4. Результаты выполнения программы
4. Литература
1. Введение
1.1. Краткие сведения из теории матриц.
В связи с широким применением для расчета конструкций современных вычислительных средств стало возможным использование таких расчетных схем сооружений, которые более точно отражают действительную работу сооружений, более полно учитывают те или иные особенности реальной конструкции.
При использовании ЭВМ для расчета сооружений применяется матричная форма записи всех исходных данных для выбранной расчетной схемы. Расчет сооружения сводится к выполнению ряда операций матричной алгебры. Рассмотрим основные понятия о матрицах, применяемых при решении задач в строительной механике.
Матрицей А порядка m*n называется прямоугольная таблица элементов, состоящая из m строк и n столбцов:
или 
.Сокращенную запись этой матрицы можно привести в виде
А=|| aij|| или A=(aij), 1≤i≤m, 1≤j≤n.
Матрицу, состоящую из одной строки (m=1), называют матрицей – строкой и записывают кратко:[A]=[a1a2...an]=[ai].
Ряд матриц имеет специальные названия и обозначения. Если m=n, то матрица называется квадратной, а число n (или m) – ее порядком. Матрица, у которой все элементы равны нулю, называется нулевой. Квадратная матрица, у которой отличны от нуля лишь диагональные элементы (аij=0 при i≠j), называется диагональной. Она имеет вид
.Диагональная матрица, ненулевые элементы которой аij=1, называется единичной и обозначается буквой Е.
.Матрица, у которой строки являются столбцами заданной матрицы, называется транспонированной по отношению к заданной и обозначается АТ. Так по отношению к заданной матрице А=|| aij||, если поменять в ней местами строки и столбцы, транспонированной будет матрица АТ=|| aij|| называется неособенной или невырожденной, если ее определитель DetA не равен нулю. При DetA=0 матрица называется особенной (вырожденной).
Обратной матрицей А-1 по отношению к данной квадратной матрице А называется матрица, удовлетворяющая соотношению
АА-1=Е.
Сложение или вычитание возможно только для прямоугольных матриц одного порядка, при этом сумма матриц порядка m*n дает матрицу того же порядка. Элементы суммарной матрицы равны сумме соответствующих элементов складывающих матриц, т.е.
.Произведением прямоугольной матрицы А на постоянное число λ называется матрица, все элементы которой получены из элементов аij умножаем на число λ:
.Две матрицы могут быть перемножаем лишь тогда, когда число столбцов матрицы А(m*р) равно числу строк матрицы В(р*n). При перемножении получают матрицу С(m*n). Каждый элемент матрицы произведения равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т . е. имеем матрицу С с элементами
сij=ai1b1j+ai2b2j+...aipbpj;
i=1,...,m; j=1,...,n.
Произведение матриц в отличие от алгебраических операций не подчиняется переместительному закону, т. е. АВ≠ВА.
Из общего правила умножения следует: умножение матрицы на матрицу – столбец дает матрицу – столбец; умножение матрицы – строки на матрицу дает матрицу – строку; произведение матрицы – строки на матрицу – столбец дает число.
1.2. Матричная форма определения перемещений по правилу Верещагина.
Перемножение эпюр по правилу Верещагина может быть выполнено в матричной форме. Пусть, например, необходимо произвести на участке n перемножение грузовой эпюры Мк на эпюру от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения Мi(рис.1,а). По формуле
,где ωM, ωN, ωQ – площади эпюр усилий M, N, Q от заданной нагрузки (грузовые эпюры);
, 
, 
- значения ординат на эпюрах от единичных сил под центром тяжести площади грузовой эпюры.получим
где ωМк- площадь эпюры Мк, которую разбиваем на три простейшие фигуры; уМi – значение момента на эпюре Мi под центром тяжести эпюры Мк; In– момент инерции поперечного сечения на данном участке.
Полученное выражение можно представить в виде произведения матрицы-строки на матрицу-столбец следующим образом:
В свою очередь матрицу-строку последнего равенства можно записать в виде произведения матрицы-строки
на матрицу коэффициентов
Таким образом, перемножение эпюр на участке n в матричной форме можно записать следующим образом:
где
- транспонированная матрица-столбец моментов по концам участка ln эпюры Мi; Dn- матрица коэффициентов, которая носит название матрицы податливости для данного участка; 
- матрица-столбец моментов по концам участка lnэпюры Мк.Матрица-столбец
составлена из моментов, действующих по концам данного участка, и стрелы подъема f параболического сегмента. Если на каком-либо участке отсутствует распределенная нагрузка, то f=0. Например, для участка n+1 (рис.1,б) имеем 
; 
.При суммировании результатов перемножения эпюр на отдельных участках в матричной форме получим
.В большинстве случаев при составлении матриц {Mi} и {Mk} равные моменты на стыках сопряженных участков можно записать один раз, но при этом матрицу податливости нужно как бы сжать на один столбец и одну строку, сложив положившиеся элементы матрицы. Например, при суммировании результатов перемножения на участках n и n+1(рис.1, а, б) можно вместо матрицы податливости вида
записать матрицу
.Таким образом, для определения перемещения в данном направлении используется следующее матричное равенство:
,где {M1}T– транспонированная матрица-столбец моментов эпюры от единичной силы, приложенной в направлении искомого перемещения; D-матрица податливости системы; {Mp} - матрица-столбец моментов эпюры от заданной нагрузки.
При определении перемещений в нескольких направлениях перемножают одну и ту же грузовую эпюру на эпюру от единичных сил, приложенных в направлении искомых перемещений. Это можно записать одним матричным равенством:
{Δ}={Mi}TD{Mp},
где {Δ} - вектор искомых перемещений;{Mi}T– транспонированная матрица моментов от единичных сил, приложенных по направлению искомых перемещений.
