Управление инвестиционными рисками (стр. 14 из 16)
ST – финальная цена подлежащего опционам актива в момент Т (случайная величина);
rT – текущая доходность подлежащего актива, измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
- среднеожидаемая доходность подлежащего актива;sr – среднеквадратическое отклонение (СКО) доходности подлежащего актива;
Выходные данные (найти):
IT – доход (убыток) по опциону (комбинации), случайная величина;
RT – текущая доходность опциона (комбинации), измеренная в момент времени T по отношению к стартовому моменту времени 0 (случайная величина);
- среднеожидаемая доходность опциона (комбинации);sR – СКО доходности опциона (комбинации);
QT – риск опциона (комбинации).
Далее по тексту работы все введенные обозначения будут комментироваться в ходе их использования.
Также мы дополнительно оговариваем следующее:
1. Мы не рассматриваем возможность дивидендных выплат (чтобы не усложнять модель).
2. Здесь и далее мы будем моделировать опционы только американского типа, т.е. такие, которые могут быть исполнены в любой момент времени на протяжении всего срока действия опциона. Это необходимо, чтобы не требовать синхронизации срока жизни портфеля на подлежащих опционам активах и сроков соответствующих опционных контрактов.
Общепринятым модельным допущением к процессу ценового поведения акций является то, что процесс изменения котировки является винеровским случайным процессом, и формула Блэка-Шоулза тоже берет это предположение за исходное. Существуют определенные ограничения на использование вероятностей в экономической статистике. Но, поскольку этот инструмент учета неопределенности является традиционным и общеупотребительным, я хочу оформить свои результаты в вероятностной постановке, при простейших модельных допущениях с использованием аппарата статистических вероятностей. А затем, по мере накопления опыта моделирования, мы будем усложнять модельные допущения и одновременно переходить от статистических вероятностей к вероятностным распределениям с нечеткими параметрами, используя при этом результаты теории нечетких множеств. Задача эта в целом выходит за рамки данной монографии, но заложить основы этой теории мы сможем уже здесь.
Посмотрим на винеровский ценовой процесс c постоянными параметрами m (коэффициент сноса, по смыслу – предельная курсовая доходность) и s (коэффикциент диффузии, по смыслу – стандартное уклонение от среднего значения предельной доходности). Аналитическое описание винеровского процесса:
(3.48)где z(t) – стандартный винеровский процесс (броуновское движение, случайное блуждание) с коэффициентом сноса, равным нулю и коэффициентом диффузии, равным единице.
Если принять, что начальное состояние процесса известно и равно S0, то мы можем, исходя из (2.1), построить вероятностное распределение цены ST в момент T. Эта величина, согласно свойств винеровского процесса как процесса с независимыми приращениями, имеет нормальное распределение со следующими параметрами:
- среднее значение:
; (3.49)- среднеквадратичное отклонение (СКО) величины ln ST/S0:
(3.50)В принципе, для моих последующих построений вид вероятностного распределения цены подлежащего актива несущественен. Но здесь и далее, для определенности, мы остановимся на нормальном распределении. Его плотность обозначим как
(3.51)Примерный вид плотности нормального распределения вида (3.51) представлен на рис. 3.2.2.
Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности нормального распределения
Теперь, сделав все базовые допущения к математической модели, мы можем переходить непосредственно к процессу вероятностного моделирования опционов и их комбинаций.
Приобретая опцион call, инвестор рассчитывает получить премию как разницу между финальной ценой подлежащего актива ST и ценой исполнения опциона xc. Если эта разница перекрывает цену приобретения опциона zc, то владелец опциона получает прибыль. В противном случае имеют место убытки.
Случайная величина дохода по опциону связана со случайной величиной финальной цены подлежащего актива соотношением 3.49.
(3.52)В правой части (3.52) все параметры являются известными и постоянными величинами, за исключением ST, которая является случайной величиной с плотностью распределения (3.51).
А текущую доходность по опциону call мы определим формулой
(3.53)Представление (3.49), когда стартовая и финальная цены актива связаны экспоненциальным множителем, является неудобным для моделирования. Аналогичные неудобства вызывает представление доходности на основе степенной зависимости. Именно поэтому мы оперируем категорией текущей доходности как линейной функции дохода и финальной цены. Предполагая нормальность распределения финальной цены актива (что соответствует винеровскому описанию ценового процесса), мы автоматически таким образом приходим к нормальному распределению текущей доходности. Построенная линейная связь текущей доходности и цены является полезной особенностью, которая потом может быть удачно использована в ходе вероятностного моделирования.
Определим плотность jI(y) распределения дохода IT по опциону как функции случайной величины ST. Воспользуемся известной формулой. Если исходная случайная величина X имеет плотность распределения jX(x), а случайная величина Y связана с X функционально как Y=Y(X), и при этом существует обратная функция X=X(Y), тогда плотность распределения случайной величины Y имеет вид
. (3.54)В нашем случае, исходя из (3.52),
(3.55)dST/dIT = 1, IT > -zc. (3.56)
Мы видим, что в точке IT = -zc плотность jI(y) приобретает вид дельта-функции. Необходимо определить множитель при дельта-функции. Это можно сделать косвенным образом. На участке, где функция ST(IT) дифференцируема, в силу (3.54)-( 3.58) выполняется
IT > -zc. (3.57)В силу нормирующего условия справедливо
(3.58)откуда, в силу (2.10), искомый множитель K есть
(3.59)Множитель K есть, таким образом, не что иное как вероятность события ST < xc. При наступлении такого события говорят, что опцион call оказался не в деньгах. Это событие – условие отказа от исполнения call-опциона и прямые убытки в форме затрат на приобретение опциона.
Наконец, итоговое выражение для jI(y)
(3.60)где
(3.61)На рис. 3.2.2 представлен примерный вид плотности вида (3.60).
Рис. 3.2.2. Примерный вид плотности усеченного распределения
Видно, что мы перешли от нормального распределения цен к усеченному нормальному распределению доходов. Но это не классическое усеченное распределение, а распределение, функция которого претерпевает разрыв первого рода в точке с бесконечной плотностью.
Теперь нетрудно перейти к распределению доходности jR(v), пользуясь (3.53), (3.54) и (3.60):
(3.62)Плотности вида (3.60) и (3.62) – бимодальные функции.
Теперь оценим риск инвестиций в call опцион. Мне думается, что правильное понимание риска инвестиций сопряжено с категорией неприемлемой доходности, когда она по результатам финальной оценки оказывается ниже предельного значения, например, уровня инфляции в 4% годовых. Это значение близко к текущей доходности государственных облигаций, и тогда ясно, что обладая сопоставимой с облигациями доходностью, опционный инструмент значительно опережает последние по уровню риска прямых убытков (отрицательной доходности).
Поэтому риск инвестиций в опцион call может быть определен как вероятность неприемлемой доходности по формуле
(3.63)где jR(v) определяется по (3.62).
Среднеожидаемая доходность вложений в опцион определяется стандартно, как первый начальный момент распределения:
(3.64)Среднеквадратическое отклонение доходности call опциона от среднего значения также определяется стандартно, как второй центральный момент распределения
(3.65)Рассмотрим важные асимптотические следствия полученных вероятностных форм. Для этого установим связь между доходностями call опциона и подлежащего актива, с учетом (3.52) и (3.53):