Интегралы, дифуры, матрицы (стр. 2 из 5)
10) (Теорема про середнє): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= cÎ [a;b], що:
3. Поняття визначеного інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона-Лейбніца.
Теорема: Якщо ф-ія f(x) неперервна для будь-якого xÎ[a;b], то похідна від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній ф-ії від верхньої межі інтегрування, тобто:
Наслідки: 1) Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x). 2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.
Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) – неперервна для xÎ [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:
де F’(x)=f(x)Зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:
Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.4. Метод підстановки у визначеному інтегралі
Теорема: Якщо: 1) f(x) – неперервна для xÎ[a;b]; 2) j(a)=а, j(b)=b; 3) x=j(t) та j‘(t) – неперервні для tÎ [a;b]; 4) при tÎ [a;b]-xÎ [a;b], то
Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.
5. Інтегрування частинам у визначеному інтегралі
Теорема: Якщо ф-ії u(x) та v(x) мають неперервні похідні для xÎ[a;b], то
Узагальнення поняття інтеграла
1. Невластиві інтеграли із нескінченним проміжком інтегрування
Нехай f(x) інтегровна для будь-якого скінченного bÎ[a;+¥), так що
існує.Означення: Границя
при b-+¥ називається невластивим інтегралом від ф-ії не нескінченному проміжку [a;+¥) і позначається: 
Якщо ця границя скінченна, то невластивий інтеграл називається збіжним, а якщо не існує (в тому числі нескінченна), – розбіжним.
Вважаючи, що f(x) – інтегровна для скінченних a та b, формули для обчислення невластивих інтегралів на нескінченному проміжку мають вигляд:
де с=const.
Теорема: Якщо при x ³ a має місце нерівність 0£f(x)£g(x) то із збіжності інтеграла
виходить збіжність інтеграла 
, або із розбіжності 
випливає розбіжність 
.2. Обчислення невластивих інтегралів від розривних (необмежених) функцій
Нехай f(x) неперервна на проміжку (a;b] та при x=a має розрив 2-го роду.
Означення:
називається невластивим інтегралом від розрізненої (необмеженої) функції f(x).Якщо ця границя існує – інтеграл збіжний, якщо ні – розбіжний.
Для обчислення таких невластивих інтегралів використовують такі формули:
1) x = a – точка розриву f(x),
2) x = b – точка розриву f(x),
3) x=cÎ(a;b) –точка розриву f(x),
Зауваження: до невластивих інтегралів, які мають точку розриву, що є внутрішньою для [a;b] не можна застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца.
3. Поняття подвійного інтеграла
Означення: Якщо
існує та не залежить ні від способу розбиття області D на частини, ні від вибору точок Mi, то ця границя називається подвійним інтегралом від функції трьох змінних u=f(x,y,z) в тривимірній області D, який позначається так: 
За такою схемою можна побудувати n-кратний інтеграл від функції n змінних u=f(M), M(x1, x2,…, xn,) у відповідній області D.Властивості подвійного інтеграла:
1.
2.
3.
якщо D=D1ÈD2 D1ÇD2= Æ.4.
S – площа області D.4. Обчислення подвійного інтеграла зведенням до повторного інтеграла
Означення: Область D називається правильною по відношенню до деякої осі, якщо будь-яка пряма паралельна цій осі перетинає межу області не більше ніж у двох точках.
5. Заміна змінних інтегрування в подвійному інтегралі
Теорема: Якщо ф-ія f(x;y) неперервна в області D, а ф-ії x=j(u;v), y=y(u;v) диференційовні і встановлюють взаємно-однозначну в системі Ouv, і при цьому їхній якобіан зберігає незмінним свій знак в області D, то має місце формула:
6. Поняття криволінійних інтегралів першого та другого роду
Криволінійний інтеграл першого роду
Означення:
називається криволінійним інтегралом першого роду, якщо ця границя існує і не залежить ні від способу розбиття дуги L на елементарні дуги, ні від вибору на них точок Mi.
Враховуючи формулу обчислення дуги кривої, цей інтеграл можна обчислити за такою формулою:
В тривимірному випадку для ф-ії u=f(x;y;z), коли дуга кривої L задана параметричними рівняннями x=x(t), y=y(t), z=z(t), a£ t £b. Формула має вигляд:
Зауваження: Криволінійний інтеграл першого роду не залежить від напряму шляху інтегрування.Криволінійний інтеграл першого роду
Якщо P(x;y) та Q(x;y) – неперервні ф-ії, а y=j(x) – рівняння дуги гладкої кривої L, яка пробігається при зміні х від а до b, то криволінійний інтеграл другого роду має такий вигляд:
Криволінійний інтеграл другого роду змінює свій знак на протилежний при зміні напряму шляху інтегрування (тобто обходу дуги кривої L).Криволінійний інтеграл другого роду можна розглядати як інтеграл від вектор-функції
по диференціалу радіус-вектора 
дуги кривої лінії L, тобто: 
ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ
Основні поняття
1. Множини точок на площині та в n-вимірному просторі.
Множина точок називається зв'язною, якзо будь-які її дві точки можна з'єднати ламаною лінією так, щоб всі точки цієї лінії належали цій множині.
Множина точок називається обмеженою, якщо її точки належать множині точок круга скінченного радіуса.
Множина точок, координати яких задовольняють нерівність (x1-x10)2+(x2-x20)2+…+(xn-xn0)2<d2 називається d-околом точки P0(x10, x20,…, xn0).
Зауваження: у випадку двовимірного простору цю нерівність можна представити у вигляді: (х-х0)2+(у-у0)2<d2.
Точка внутрішня для множини точок, якщо вона належить цій множині разом з деяким своїм d-околом і зовнішня, якщо існує її окіл з точок, жодна з яких на належить цій множині.
Зв’язна множина, яка складається тільки з внутрішніх точок, називається відкритою областю (або просто областю).
Точка наз. межовою для області якщо в будь-якому її d-околі знайдуться точки, що не належать області. Множина межових точок наз. межею області.
Область об’єднана зі своєю межею називається замкненою областю.
Множина опукла, якщо будь-які точки множини можна зв’язати відрізком.
2. Означення ф-ії багатьох змінних
Якщо кожній точці Р(х1, х2,..., хn) множини D n-вимірного простору поставлено у відповідність з деяким законом одне і тільки одне число z Î E Ì R, то кажуть, що в області D Ì Rn задано функцію n незалежних змінних z=f(x1, x2,…, xn). При цьому D називають областю ф-ії, Е- областю значень ф-ії.
3. Способи завдання ф-ії
Ф-ію двох змінних можна зобразити:
аналітично (у вигляді формули)
таблично (у вигляді таблиці)
графічно
Лінією рівня наз. множина всіх точок площини, в яких ф-ія z=f(x;y) набуває однакових значень.
Рівняння ліній рівня записують у вигляді f(x;y)=C.