Циліндр (стр. 2 из 2)
Площина, перпендикулярна до осі, перетинає круговий циліндр по колу; площина, похила до осі, дає в перетині, як в цьому можна безпосередньо переконатися, елліпсовідную криву. Покажемо, що ця крива дійсна еліпс. Для цього візьмемо кулю такого діаметру, щоб він в точності відповідав внутрішності циліндра, і пересуватимемо цю кулю усередині циліндра до зіткнення з січною площиною.
Поверхня, яка в деякій декартовій системі координат задається рівнянням
 | (13.18) |
називається еліптичним циліндром, поверхня, яка задається рівнянням
 | (13.19) |
називається гіперболічним циліндром, а яка задається рівнянням
 | (13.20) |
називається параболічним циліндром.
Для того, щоб побудувати поверхню, що задається рівнянням (13.18), або рівнянням (13.19), або (13.20), досить намалювати на площині
що направляє, рівняння якої на цій площині співпадає з рівнянням самої поверхні. Потім через крапки що направляє провести створюючі паралельно осі 
. Для наочності слід побудувати також одне - два перетини площинами, паралельними площині . У кожному такому перетині отримаємо таку ж криву, як і що початкова направляє. Зображення цих циліндрів перетинами приведені на малюнках 13.27, 13.29 і 13.31. 
Мал.13.27.Зображення еліптичного циліндра за допомогою перетинів
Мал.13.29.Зображення гіперболічного циліндра за допомогою перетинів
Мал.13.31.Зображення параболічного циліндра за допомогою перетинів
6. Об'єм циліндра
Теорема: об'єм циліндра дорівнює добутку основи на висоту.
Доказ: Впишемо в даний циліндр Р радіусу r і висоти h правильну призму Fn, а в цю призму впишемо циліндр Pn. Позначивши через V і Vn об'єми циліндрів P і Pn, через rn – радіус циліндра Pn. Оскільки об'єм призми Fn, рівний Sn•h, де Sn – площа підстави призми, а циліндр Р містить призму Fn, яка, у свою чергу, містить циліндр Pn, то Vn <Sn•h <V ( нерівність 1). Будемо необмежено збільшити число n. При цьому радіус rn циліндра Pn прагнути до радіусу r циліндра Р (rn= r сos при n→ ∞). Тому об'єм циліндра Pn прагнути до об'єму циліндра Р: : limn→∞Vn = V. З нерівностей 1 витікає, що і limn→∞Sn. h = V. Але limn→∞Sn =πr 2. Таким чином:
V=πr2h (2).
Позначивши площу πr2 підстави циліндра буквою S, і з формули (2) отримуємо:
V=S·h (1).
7. Площа циліндра.
За площу бічної поверхні циліндра береться площа її розгортки. Оскільки площа прямокутника АВВ’А’ рівна АА’•АВ=2πrh, то для обчислення площі S бічної поверхні циліндра радіусу r і висоти h виходить формула:
S=2πrh (1), де r –радіус циліндра, а h – його висота.
Отже, площа бічної поверхні циліндра рівна твору довжини кола підстави на висоту циліндра.
Площею повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні і двох основ. Оскільки площа кожної основи рівна πr2, то для обчислення площі Sцил повної поверхні циліндра отримуємо формулу:
Sцил=2πr · (r+h)
8. Циліндр як одна з головних частин поршневого двигуна
Циліндр — одна з головних частин поршневого двигуна внутрішнього згорання. Є робочою камерою об'ємного витіснення. Внутрішні і зовнішні частини циліндрів випробовують різний нагрів і зазвичай виконуються з окремих частин:
1. Внутрішня частина — робоча втулка гільза.
2. Наружная — сорочка.
Простір між ними називається зарубашечним, в двигуном з водяним охолоджуванням тут циркулює вода.
Внутрішня поверхня гільзи піддається спеціальній обробці — хонінгованіє, хромування, азотування. Гільзи відливають з чавуну високої міцності або спеціальних сталей. Сорочки і корпус блоку циліндрів виготовляють зазвичай з того ж матеріалу, що і станина двигуна.
Циліндри двотактних двигунів відрізняються по конструкції від циліндрів 4-х тактний двигунів наявністю випускних і продувочних вікон. Крім того, у циліндрів двотактних двигунів подвійної дії є в наявності нижня кришка для утворення робочої порожнини під поршнем. У переважній більшості випадків сорочки циліндрів виконуються у вигляді одного відливання для всього ряду циліндрів і називаються блоком циліндрів.
9. Дослідницька робота
Завдання №1
Радіус основи циліндра 2м, висота 3м. знайдіть діагональ осьового перерізу.
Дано:
Циліндр, R=2м,
H=3м.
Знайти: А1В - ?
Розв’язання
Перший переріз данного циліндра – прямокутник АВВ1А1. АВ=А1В1=2R, АА1=ВВ1=4 (R - радіус циліндра, H – висота циліндра).
З ∆А1ВВ1, де ےВ1=90º, та теоремою Піфагора:
А1В=√ВВ12 + А1В12 =√H2 +4R2=√ 9+16=√25=5 (м).
Відповідь: А1В=5 (м).
Завдання №2
Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q. Знайдіть плошу основи циліндра.
Дано:
Циліндр, квадрат АВСD
SАВСD=Q
Знайти: площу основи циліндра.
Розв’язання
Сторона квадрату дорівнює √Q. Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює π﴾√Q/2﴿2=πQ/4.
Відповідь: площа основи циліндра дорівнює πQ/4
Завдання №3
У циліндр вписано правильну трикутну призму, а в призму – циліндр. Знайдіть відношення об’ємів циліндрів.
Дано:
Циліндр вписаний у трикутну призму,
а в призму – циліндр.
Знайти: V1/V2 - ?
Розв’язання
В основу циліндра вписано правильний трикутник, Його основу позначимо через а. Очевидно, що радіус описанного циліндра дорівнює радіусу кола, описанного навколо основи:
R=a√3/3
Радіус вписанного у призму циліндра дорівнює радіусу кола, вписанного в основу призми:
R= a√3/6
Відношення об’ємів циліндрів:
V1 πR2H R2 a2 · 12
V2 πR2H r2 3 · a2
Відповідь: V1/V2 = 4
ІІІ. Висновок
Отже, циліндр є одним з тіл обертання. Циліндр, який ми розглядаємо, як геомеоричну фігуру, назівається прямим круговим циліндром. Приямий циліндр наочно можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутника навколо сторонни як осі. Прямий циліндр має 2 основи, висоту, радіус і вісь. Має свої певні властивості. Легко визначається об’єм і площа циліндра за формулами, які вже згадувались. Циліндр може бути вписаний і описаний у призмі.
Також існують й інші циліндри. На сьогоднішній день нам відомі такі види циліндрів, як:
- параболічний циліндр;
- гіперболічний циліндр;
- еліптичний циліндр.
Такі циліндри часто використовуються в техніці. Наприклад: циліндр одна з головних частин поршневого двигуна, металічні труби мають циліндричну форму, багато ємкостей мають циліндричну форму.
Список литературы
1.http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80_%28%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%29
2. http://referat-download.ru/Matematica/Cilindr-2.html
3. Навчальний посібник для студентів. Геометрія 2 частина. Освіта 1987р. Атанасян Л.С., Базилев В.Т.
4. Стереометрія. Геометрія в просторі. Александров А.Д., Вєрнєв А.Л.
5. Велика шкільна енциклопедія. Том 1, Москва 2004. Штейн Е.А.
6. Геометрія: Стереометрія: Підруч. для 10-11 кл. 2-ге видан.
7. Домашні завдання без помилок: 11 клас. М. І. Шкіля та ін.