Логарифмы

Логарифмы

История логарифмов

Название введено Непером, происходит от греческих слов logoz и ariumoz - оно означает буквально “числа отношений”. Логарифмы были изобретены Непером. Непер изобрел логарифмы не позднее 1594 года. Логарифмы с основанием a ввел учитель математики Спейдел. Слово основание заимствовано из теории о степенях и перенесено в теорию логарифмов Эйлером. Глагол “логарифмировать” появился в 19 веке у Коппе. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов. Обозначения, близкие к современным ввел немецкий математик Прингсхейм в 1893 году. Именно он обозначал логарифм натурального числа через ln. Определение логарифма как показателя степени данного основания можно найти у Валлиса (1665 год), Бернулли (1694 год).

Определение логарифма

Логарифмом числа b>0 по основанию a>0, a ≠ 1 , называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифм числа b по основанию a обозначается: log_ab

Основное логарифмическое тождество

a^logab =b

Это равенство является просто другой формой определения логарифма. Его часто называют основным логарифмическим тождеством.

Пример

1. 3=log₂8, так как 2³=8

2. ½=log₃√3 , так как 3= √3

3. 3^log31/5=1/5

4. 2=log_√5 5, так как (√5)²=5

Натуральный и десятичный логарифмы

Натуральным называется логарифм, основание которого равно e. Обозначается ln b, т.е.

ln b=log_e b.

Десятичным называется логарифм, основание которого равно 10. Обозначается lg b, т.е.

lg b=log₁₀ b.

Основные свойства логарифмов

Пусть: a > 0, a ≠ 1. Тогда:

1. log_a x*y=logax+logay (x>0, y>0)

2. log_a y/x=logax−logay (x>0, y>0)

3. log_a x^p=p*logax (x>0)

4. log_a^p x=1/p*logax (x>0)

5. log_a1=0

6. log_aa=1

Пример

1) log₈ 16+log₈ 4= log₈(16•4)= log₈64= 2;

2) log₅ 375– log₅ 3= log₅ 375/3=log₅ 125= 3;

3) ½log₃ 36+ log₃ 2- log₃√6- ½ log₃8=log₃√36+ log₃ 2-(log₃√6+log₃√8) =log₃ 12/4 •√3=log₃√3= ½.

Формы перехода от логарифма по одному основанию к логарифмы по другому основанию

1. log_ab=log_cb/log_ca

2. log_ab=1/log_ba

Логарифмические уравнения

1) Уравнение содержащие переменную под знаком логарифма (log) называются логарифмическими. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение вида: log_ax=b, где а>0 и а=1.

2) Решение логарифмического уравнения вида: log_af(x)=log_ag(x) (1) основано на том, что оно равносильно уравнению вида f(x) = g(x) (2) при дополнительных условиях f(x)>0 и g(x)>0.

3) При переходе от уравнения (1) к уравнению (2) возможно появление посторонних корней поэтому для них выявления требуется проверка.

4) При решении логарифмических уравнений часто используется метод подстановки.

Вывод

Логарифм число, применение которого позволяет упростить многие сложные операции арифметики. Использование в вычислениях вместо чисел их логарифмов позволяет заменить умножение более простой операцией сложения, деление - вычитанием, возведение в степень - умножением и извлечение корней - делением.